数学の問題一覧

どの4頂点を選んでもそれが閉路にならない、800頂点の単純平面グラフの辺の数の最大値を求めよ。

n以下の全ての自然数の集合Sの部分集合Tは次を満たした。
・Tの任意の要素x,yについて、xyはTに含まれない。
nに対するTの要素数の最大値をf(n)とする。
このとき、ある人は命題Qnを唱えた。
「Tの要素数がf(n)となるTは1つしかない」
Qnが偽となる2025以下のnの総和を求めよ。

※この問題は人力で解けることを想定していない可能性があります。

平安時代には次のルールがある。
・男性が3日連続女性の家に通ったらその女性と結婚が成立する。
・男性が3年(1095日)間一切女性の家に通わなかったらその女性と離婚が成立する。
1人の男性が同時に女性と結婚できる人数は最大X人であり、女性の家に通いはじめてからX人の女性と結婚するのに必要な日数の最小値はY日である。XとYの10進数における文字列の結合を解答しなさい。ただし、1人の男性が1日に通える女性の家は1つだけである。
(寿命や重婚に対する刑罰は考慮しないものとする)

問題文

$1$ 以上 $10^7$ 以下の $11$ の倍数全てに対して，それぞれの各位の和の総和を求めてください．

問題文

$2024!$ 以上の正整数 $n$ のうち，$\dfrac{2025!}{n}$ の小数部分が $\dfrac{2025!-67}{2025!}$ より大きいものの個数を求めてください．

問題

$AB=3$なる鋭角三角形$ABC$について, $AC$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とすると, $AN=4$が成立した. また, 三角形$ANC$の外接円と直線$MN$との交点のうち, $N$でないほうを$D$とすると, $DC=9$が成立した. このとき, $AD$の長さの二乗は互いに素な正整数$a$, $b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$を解答せよ.

問題

$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$について, $A$から$BC$に下した垂線の足を$H$とし, 線分$AH$上に点$P$をとると,
$$
AP=5　PH=3　∠PBC=∠PAC
$$
が成立した. このとき, 三角形$ABP$の面積の2乗を解答せよ.

問題文

三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $BH$ と直線 $AC$ との交点を $E$ ，直線 $CH$ と直線 $AB$ との交点を $F$ とすると，$3$ 点 $E,O,F$ は同一直線上にあった．$AH=8,AO=6$ のとき，四角形 $EFBC$ の面積の二乗の値を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，$\angle ABC$ の二等分線と直線 $AM$ との交点を $D$ とすると，以下が成立した．
$$BC=4,\angle ADB=\angle AMC=3\angle BAM$$このとき，線分 $AC$ の長さの二乗は正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

任意の正整数 $m$ に対して $n^m-n$ が $10!$ の倍数であるような $10!$ 以下の正整数 $n$ の個数を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

nを4以上1000以下の整数とする。1000以下の正整数の組$(a_1,a_2,…,a_n)$であって、$$a_1=\frac{a_2+a_3+a_4}{3},a_2=\frac{a_3+a_4+a_5}{3},…,a_{n-1}=\frac{a_n+a_1+a_2}{3},a_n=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$$を満たすものの個数を求めよ。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，辺 $BC$ の中点を $M$ とします． $\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，線分 $AD$ 上の点 $S$ が $HS \perp AM$ を満たし，さらに以下が成り立ちました．
$$ AH=10, \quad AS=9, \quad SD=8 $$このとき， $BD^2+CD^2$ の値は $\gcd (a,c)=1 $ なる正の整数 $a,b,c$ を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので， $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．