数学の問題一覧

AさんとBさんは、黒板をつかって次のようなゲームをします。
ルール
・自分のターンでは、黒板に書かれている$1$以外の正整数を一つ選び、分割を行う。
自分のターン開始時に分割できる数がない場合敗北となる。
・分割...その数を$2$つ以上の正整数の和に分解すること。たとえば、$5$は$(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)$のいずれかに分割される。
はじめ、黒板には$1024$以下の正整数$X,Y,Z$が書かれています。Aさんから操作を開始し、両者が最適戦略をとりつづけるとき、Bさんが勝つような$(X,Y,Z)$の組の個数を求めなさい。

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。

問題文

$30! \pmod{31\times30\times 29^2}$ の値を求めてください．

解答形式

半角の整数で入力してください．

$n$進法でも$n+1$進法でも$3$桁の回文数になるような正の整数をn-今年の数と定義します．
たとえば，$2026$は$13$進法で$BCB_{(13)}$,$14$進法で$A4A_{(14)}$となるので13-今年の数です．
すべての7-今年の数について，その総和を求めてください．
ただし，$n$進法における$3$桁の回文数とはある正整数$X(1\le X\le n-1),Y(0\le X\le n-1)$を用いて$XYX_{(n)}$と表せる数のこととします．

$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

以下の操作を数字が$100$以下になるまで繰り返し行います．
・下$2$桁の数字を取り除き、残った数字にかける．
たとえば，$2108$は，$21×8=168$となります．
このとき、$2$回目の操作までに数字が$100$になる数を今年の数と呼ぶことにします．
今年の数のうち、2026は何番目に小さいですか？
ただし、100は今年の数に含まれないものとします.

問題文

$2 \times 6$ のマス目があります．全てのマスそれぞれに $0,2,6$ のうち一つを選んで書き込みます．以下の条件を満たすような書き込み方は何通りありますか．
・どの辺を共有して隣り合う $2$ マスについてもそれらに書き込まれた数の和がある非負整数 $a$ を用いて $2^a$ と表せる．
ただし，回転・反転によって一致するものも区別します．

$20\times26$のマス目のいずれかにおせちが置かれており，太郎君はおせちが置かれていないいずれかのマスから，通るマスの数が最小となるようにおせちまで移動します．
お年玉を太郎君が通ったマスの個数と定義するとき，
おせちと太郎君の初期位置すべてについて，お年玉の総和を求めてください．
ただし，最初のマスと最後のマスも通ったマスとみなします．

$10$進法での正整数$N$の桁和を$S(N)$とおきます．
$2026=1013\times 2$,
$2+0+2+6=(1+0+1+3)\times 2$
のように，$N=p\times q$と素因数分解できるときに，
$S(N)=S(p)\times S(q)$と表せるような正整数$N$を今年の数とよびます．
4桁の今年の数のうち2026は小さい方から何番目か求めてください。

問題文

全ての桁が偶数からなる正整数を今年の数とします．例えば $2026$ は今年の数です．
$2026$ 以下の今年の数は全部でいくつありますか．

問題文

ある正整数 $n$ が今年の数であるとは $n=a^b-(a-1)^b$ とあらわせるような正整数の組 $(a,b)$ が存在しない数であるとします.例えば$2026$は今年の数です.
このとき,$2026$以下の今年の数はいくつありますか.