数学の問題一覧

問題文

$m$ を整数とする．$x$ の $100$ 次方程式
$$\sum_{i=0}^{100}3^ix^{100-i}=m+\sum_{j=0}^{99}(2j+1)x^{99-j}$$ は重複を含めて $100$ 個の複素数解を持つので，その $n$ 乗和を $S_{m,n}$ とする．
$n$ が正の整数のとき $S_{m,n}$ は整数になるので，$S_{m,n}$ を $5$ で割った余りを $T_{m,n}$ をとする．以下の値を求めよ．
$$\sum_{m=0}^{1000}\sum_{n=1}^{100}T_{m,n}$$

解答形式

整数で解答してください．

問題文

$ $　$U$ を $1$ 以上 $6$ 以下の整数全体の集合とします．$U$ から $U$ への写像 $f$ であって以下の条件をみたすものは全部でいくつありますか？

• 任意の $x \in U$ に対し $f^{61}(x) = f(x)$ が成り立つ．

ただし，$k$ を正整数としたとき $f^k$ は $f$ の $k$ 回合成を表します．すなわち，$x \in U$ として $f^k$ は次のように表される $U$ から $U$ への写像です．
$$f^k(x) = \underbrace{f(f( \cdots f(}_{k個}x) \cdots ))$$

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第11問を解答しなさい。

解答形式

半角の正整数値で入力してください。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第10問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。

問題文

$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。
ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯第4問を解答しなさい。

解答形式

求める解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題6問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題8問の解を求めよ。

解答形式

求めた解を半角の正整数値で入力してください。

問題文

コンテスト本文のリンクを参照してrakki杯題6問を解答しなさい。

解答形式

求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）

$AB

$AB

鋭角三角形 $ABC$ について，$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$，垂心を $H$，線分 $HB,AC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とし，線分 $MN$ と三角形 $NDC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とします．$AX\perp MN, XA=2, XD=1$ のとき線分 $AC$ の長さの二乗を解答してください．