数学の問題一覧
公開日時: 2026年6月21日6:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$AB=7, BC=8, CA=9$ である鋭角三角形 $ABC$ において$,$ 各頂点において中線が隣り合う一方の辺となす角と$,$ 等しい角度をもう一方の辺との間になすような直線をそれぞれ引きます。これら3本の直線の交点を $K$ とし$,$ 点 $K$ を中心として点 $A$ を通る円を $\Gamma$ とします。また$,$ 円 $\Gamma$ と直線 $BC$ の交点のうち$,$ 点 $B$ に近い方を $X$$,$ 点 $C$ に近い方を $Y$ とします。さらに$,$ 三角形 $AKX$ の外接円を $\omega_1$$,$ 三角形 $AKY$ の外接円を $\omega_2$ とし$,$ $\omega_1$ と $\omega_2$ の $A$ 以外の交点を $M$ とします。直線 $AM$ と直線 $BC$ の交点を $H$ とするとき$,$ 線分 $KH$ の長さは互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので$,$ $p+q$ の値を求めてください。
解答形式
半角数字で入力してください。
公開日時: 2026年6月20日11:48 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$m$ を整数とする．$x$ の $100$ 次方程式
$$\sum_{i=0}^{100}3^ix^{100-i}=m+\sum_{j=0}^{99}(2j+1)x^{99-j}$$ は重複を含めて $100$ 個の複素数解を持つので，その $n$ 乗和を $S_{m,n}$ とする．
$n$ が正の整数のとき $S_{m,n}$ は整数になるので，$S_{m,n}$ を $5$ で割った余りを $T_{m,n}$ をとする．以下の値を求めよ．
$$\sum_{m=0}^{1000}\sum_{n=1}^{100}T_{m,n}$$
解答形式
整数で解答してください．
公開日時: 2026年6月18日18:43 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$ $ $U$ を $1$ 以上 $6$ 以下の整数全体の集合とします．$U$ から $U$ への写像 $f$ であって以下の条件をみたすものは全部でいくつありますか？
- 任意の $x \in U$ に対し $f^{61}(x) = f(x)$ が成り立つ．
ただし，$k$ を正整数としたとき $f^k$ は $f$ の $k$ 回合成を表します．すなわち，$x \in U$ として $f^k$ は次のように表される $U$ から $U$ への写像です．
$$f^k(x) = \underbrace{f(f( \cdots f(}_{k個}x) \cdots ))$$
解答形式
答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
公開日時: 2026年6月6日20:05 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
rakki杯
問題文
$P,Q$を中心とする2円は2点で交わったので、その交点を$X,Y$とする。線分$PQ$とその2円が2点で交わるので、その交点を$A,B$とすると、$P,A,B,Q$がこの順に並んだ。
ここで、$PX=5$。$PQ=13$。$BY⊥XQ$のとき、$AB$の長さを求めよ。
解答形式
求めた解を$x$とすると、$x^2$は
非負整数$a,b,c$を用いて（$c≠0$）既約分数の形で、$\frac{±a±\sqrt{b}}{c}$と表せる（分母が1ならc=1とせよ）ので（複号自由）、$a+b+c$を半角の正整数値で入力してください。（解答に用いる値が2乗であることに注意すること。）
公開日時: 2026年6月5日21:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
平行四辺形 $ABCD$ について，三角形 $ABC$ の外接円と線分 $AD$ が $A$ でない点 $E$ で交わり，三角形 $DEC$ の外接円と線分 $AB$ が接しました．$AE=2, ED=5$ のとき，線分 $AB$ の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．