数学の問題一覧

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poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

通常のサイコロを,素数の目が $2$ 回出るまで振り続けます.振った回数が $10$ 以下の素数である確率は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので,$p+q$ を解答してください.
通常のサイコロとは,$1$ から $6$ までの目が存在し,それらが等確率に出現するサイコロを指します.

解答形式

半角数字で解答してください.

poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

円に内接する四角形 $ABCD$ の対角線の交点を $P$ としたとき,
$$AB=14\, , AP=13\, ,AD=16\, ,BP=PD$$
が成り立ちました.このとき $AC$ の長さを求めてください.ただし求める答えは互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せるので,$p+q$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

Nyarutann

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

$a, b$ を整数とします.$x$ についての方程式
$$
x^2+ax+b=0
$$について,$a+b=k$ となるすべての $(a, b)$ の組についてそれぞれの方程式を解いていくと,方程式が整数解をもつ(重解含む)ような $(a, b)$ の組が $4$ 種類のみ存在しました.$0≦k≦20$ としたとき, $k$ としてありうる値の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください。

poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

赤いボールと青いボールがそれぞれ十分に入っている袋から $50$ 個のボールを取り出して一列に並べました.このとき,次の条件を満たす取り出し方において,取り出した青いボールの個数としてあり得る値の総和を求めてください.
 ・連続する $3$ 個のボールの少なくとも $1$ つは赤いボールである.

解答形式

半角数字で解答してください.

poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

正整数 $a,b$ の最大公約数は $12$ ,最小公倍数は $360$ でした.このとき $(a,b)$ としてあり得る組すべてについて $a+b$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

実数 $a,b$ が $a+b=10$ を満たすとき,$a^3+b^3$ の最小値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

Nyarutann

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

$1$ 辺の長さが $10$ である正方形 $ABCD$ の内部に点 $P$ をとると,$△ACP$ と $△BDP$ の面積がどちらも $10$ になりました.$P$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ としたとき,$AE$ の長さとしてありうる値の総積を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください。

poino

公開日時: 2024年8月14日22:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

$$2^p+q^2=5r$$
を満たす $100$ 以下の素数の組 $(p,q,r)$ 全てにおいて,$pqr$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

Tehom

公開日時: 2024年8月7日21:02 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ

C分野

問題文

$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか

・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、
$\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
かつ、
 任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、
$\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個

解答形式

半角数字で解答してください.

Weskdohn

公開日時: 2024年8月6日14:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題

Weskdohn君は,次のゲームを行うことになりました.

正$733$角形のマークが書かれたカードW:$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い,これを$X$回繰り返します.
但し$X$について次の事実がわかっています.

正$3$角形のマークが書かれたカードS:$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN:$N_1N_2 \ldots N_{281}$
について,それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい,OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする.


ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので,$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい.

但し,異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし,また$O_{[K]}$は,$O$を$K$進法で書いた時の値とします.

解答形式

求めた値を,半角で入力して下さい.
ex)答えが6106→6106と入力.
また,001のような数値が答えの場合は、0をなくさず001のまま回答して下さい.

MrKOTAKE

公開日時: 2024年8月5日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

△ABCの内心をI,∠A内の傍心をJとすると以下が成立した.
BI=7, CI=15, IJ=25
このときBCの長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

MrKOTAKE

公開日時: 2024年8月5日10:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ


問題文

△ABCの外心をOとすると以下が成立した.
AO=25, BC=48
このとき△ABCの面積としてあり得る最大値を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.