700A

正整数の多重部分集合 $U$ であって以下の条件を満たすものを 良い集合 と呼ぶことにします。

• $a\in U$ が奇数なら $a$ の重複度は $2$ 以下.
• $a\in U$ が偶数なら $a$ の重複度は $1$ 以下.

良い集合 $U$ について, $U$ に含まれ重複度が $1$ である奇数の個数を $x$, $U$ に含まれ重複度が $1$ である偶数の個数を $y$ としたとき, 要素の総和が $N$ であるような $U$ 全てについて, $2^x\cdot(-1)^y$ の総和を $f(N)$ とします. 以下の値を求めてください.

$$f(1)+f(2)+\cdots +f(10000)$$

関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.

• $f(0,0)=1$
• $n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.

$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を 素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

$n$を非負整数とし,　関数$f_n(x)$は以下を満たします.
$$
\begin{eqnarray}
f_0(x)=f_n(0)=0\quad\quad\quad\quad\quad\\
f_n(x)=\frac{\sqrt{\tan{x}}+f_{n-1}(x)}{\tan{x}+1}\quad(n\geqq1)
\end{eqnarray}
$$
このとき, 以下の値を解答してください.
$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{12}}{\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}
}f_n(x)}dx
$$

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.
※この問題は自動ジャッジではなく運営が採点するため, 正誤の送信が遅れる可能性があります. ご了承ください.

以下の問題から影響を受けて投稿しました。
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb081/tasks/14982

正整数の列 $(b_1,b_2,…,b_{6000})$ であって, 次の条件をすべて満たすものはいくつありますか. 素数 $1999$ で割った余りを求めてください.

• $b_1\leq b_2 \leq \dots \leq b_{6000}$.
• 以下の条件をすべて満たす正整数の列 $(a_1,a_2,…,a_{10000})$ が存在する.
  • $a_1=1$.
  • $i=1,2,\dots,9999$ に対して, $a_{i+1}=a_i +i+1$ または, $a_{i+1}=a_i+i$ が成り立つ.
  • $i=1,2,\dots,6000$ に対して, $b_i \in\{a_1,a_2,\dots,a_{10000}\}$ が成り立つ.

問題文

$$
\large
\lim_{n\to \infty} {\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{(n+1){\theta}}-\cos{n{\theta}}}{\cos{\theta}-1}
}}d\theta
$$
の値を求めてください.
※但し$\theta=0$のときの被積分関数の値を$0$とします.

解答形式

※「」は鍵括弧の中身だけを入力してください
・分数表記は「\frac{a}{b}」が「$\frac{a}{b}$」となります. 帯分数は避けて下さい.
・「\pi」と入力すると「$\pi$」となります.
・「{a}^{b}」と入力すると「${a}^{b}$」となります. 「\sqrt{a}」と入力すると「$\sqrt{a}$」となります.
・「\log_{a}{b}」と入力すると「$\log_{a}{b}$」となります. ただし, 底(a)が$e$である場合は「\log{b}」と入力すると「$\log{b}$」となるのでこちらの表記で提出してください.
・この問題が有限値収束することは保証されています.

問題文

$n>10$ とする。
$n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。

必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

正整数列であって以下の条件を全て満たすもの個数を $f(n)$ とします.

• 要素の総和が $n$.
• 全ての隣接する $2$ 項について $3$ で割った余りが異なる.

$f(10000)$ を $1000$ で割った余りを求めてください.ただし, 必要なら以下を用いても良いです.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & f(n)\: \mathrm{mod} \:1000 \\
\hline \hline
9990 & 529 \\
\hline
9991 & 3\\
\hline
9992 & 811\\
\hline
9993 & 569\\
\hline
9994 & 126\\
\hline
9995 & 145\\
\hline
9996 & 341\\
\hline
9997 & 75\\
\hline
9998 & 193\\
\hline
9999 & 212\\
\hline
\end{array}
$$

問題文

$2a_na_{n+2}+n!a_{n+1}=3a_na_{n+1}+(n+1)!a_n+2a_{n+1}^2,~a_1=1,~a_2=2$を満たす数列${a_n}$について, $2048$以下の正整数$N$であって, $2a_N$が整数となるものはいくつありますか.

解答形式

半角数字で入力してください．

以下の整数 $2$ つの組からなる関数 $f(n,m)$ について, $f(30000,20000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

• $n,m$ のいずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $f(0,0)=f(0,1)=f(1,0)=1$.
• $(n,m)\not \in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ であるとき, 以下が成立.
  $$f(n,m)+f(n-2,m)+f(n,m-2)=2f(n-1,m)+2f(n,m-1)+2f(n-1,m-1)$$.