700A

関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.

• $f(0,0)=1$
• $n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.

$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を 素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

$n>10$ とする。
$n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。

必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

以下で定義される関数 $f$ について, $f(15000,25000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$$f(m,n)=\sum_{\ell=1}^{n}\sum_{\substack{a_1,\cdots,a_{\ell}\geq 1\\\\ a_1+\cdots +a_{\ell}=n}}(-1)^{\ell}\binom{m}{a_1}\cdots \binom{m}{a_{\ell}}$$
$$\quad$$

正整数列であって以下の条件を全て満たすもの個数を $f(n)$ とします.

• 要素の総和が $n$.
• 全ての隣接する $2$ 項について $3$ で割った余りが異なる.

$f(10000)$ を $1000$ で割った余りを求めてください.ただし, 必要なら以下を用いても良いです.

$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
n & f(n)\: \mathrm{mod} \:1000 \\
\hline \hline
9990 & 529 \\
\hline
9991 & 3\\
\hline
9992 & 811\\
\hline
9993 & 569\\
\hline
9994 & 126\\
\hline
9995 & 145\\
\hline
9996 & 341\\
\hline
9997 & 75\\
\hline
9998 & 193\\
\hline
9999 & 212\\
\hline
\end{array}
$$

以下の整数 $2$ つの組からなる関数 $f(n,m)$ について, $f(30000,20000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

• $n,m$ のいずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $f(0,0)=f(0,1)=f(1,0)=1$.
• $(n,m)\not \in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ であるとき, 以下が成立.
  $$f(n,m)+f(n-2,m)+f(n,m-2)=2f(n-1,m)+2f(n,m-1)+2f(n-1,m-1)$$.

問題文

$2a_na_{n+2}+n!a_{n+1}=3a_na_{n+1}+(n+1)!a_n+2a_{n+1}^2,~a_1=1,~a_2=2$を満たす数列${a_n}$について, $2048$以下の正整数$N$であって, $2a_N$が整数となるものはいくつありますか.

解答形式

半角数字で入力してください．

以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした．

なお$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる．

ルールは以下の通り．
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる．
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する．

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない？」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」

光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。

解答形式

答えが$1,2,4$の場合は$(1,2,4)$と入力して下さい.(小さい順に)