正角形 $ABCDEF$ について,辺 $AB,BC,DE, EF$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R,S$ があり,
$$AP =1,\ \ BQ =2,\ \ DR =3,\ \ ES =4$$ が成り立ちます.四角形 $PQRS$ の面積が $64\sqrt3$ のとき,正六角形の一辺の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a + \sqrt b$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
$\:2024≧a>b>c≧1\:$なる正整数の組$\:(a,b,c)\:$であって、$x^a+x^b+x^c+1\:$が$\:(x+1)\:$を因数に持つようなものは何通りあるか解答してください。
半角数字で解答してください。
$\triangle ABC$において$AC$,$AB$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし, 線分$BM$,$CN$上(端点を除く)にそれぞれ点$D$,$E$をとります. 直線$AD$,$AE$と線分$BC$の交点をそれぞれ$P$,$Q$としたとき,$$\frac{AP・PD}{PB}=MN-PC$$$$\frac{AQ・QE}{QC}=MN-QB$$が成立しました. $∠ADB=101°$,$∠BEN=62°$,$∠DCB=41°$のとき, $∠AED$の角度を度数法で解答してください.
半角数字で入力してください.
正三角形 $ ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり,
$$PQ=3,\ \ \ \ QR=5,\ \ \ \ RP=7,\ \ \ \ AB=9$$ を満たしています.このとき,線分 $AQ$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
縦$2$マス、横$7$マスの$14$マスそれぞれに$1$〜$7$の整数のいずれかが$1$つ書かれています。以下の条件を満たす数字の書き方は何通りあるか答えてください。ただし、$N_{a,b}$で上から$a$マス目、左から$b$マス目のマスに書かれた数を表します。
・$1≦i≦7$の任意の整数$i$において、
$N_{1,i}≡N_{2,i} (mod\:3)$ かつ
$N_{1,i}≢N_{2,i} (mod\:2)$
・$1≦j≦2$、$1≦k≦6$の任意の整数$j,k$において、
$N_{j,k}≢N_{j,k+1} (mod\:3)$ かつ
$N_{j,k}≢N_{j,k+1} (mod\:2)$
半角数字で入力してください。
$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり,その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります.
また,線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします.
$a,b$ の交点を $E$,$b,c$ の交点を $F$,$c,d$ の交点を $G$,$d,a$ の交点を $H$ とすると,$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり,四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました.
そして,以下が成立しました:
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
このとき,$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
非負整数を半角で入力してください.