数学の問題一覧

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幾何

katsuo_tenple 自動ジャッジ 難易度:
14時間前

1

問題文

$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円と$AC.AB$にそれぞれ$D.E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とし、$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とすると以下が成立した。

     $AB=4$  $CF=3$

このとき,$CG²$の値を求めてください。

解答形式

半角で解答してください。

2のべき乗と三角形

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
3日前

4

問題文

$a + b + c = 999$ かつ $a \le b \le c$ を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ であって,
$2^a, 2^b, 2^c$ が非退化な三角形の三辺の長さとなるものは何通りありますか.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

最小公倍数

kiriK 自動ジャッジ 難易度:
4日前

2

問題文

$$LCM(ax,x^2+3x+2)=LCM(ax,b×x!)$$が成り立つ時、$a+2b+3x$ の値として考えられるものの総和を答えよ。
ただし$x$は自然数、$a,b$は素数とする。

解答形式

半角数字

P1

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
5日前

24

問題文

鋭角三角形$ABC$において,外心を$O$とし,$\angle OAB$の二等分線と$BC$の交点を$D$とすると,$BD=OD$,$\angle AOD >90^\circ$を満たした.$AO=7$,$AD=10$であるとき,$BC$の長さを求めよ.

解答形式

求める値は正整数$a,b$を用いて$a+\sqrt b$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P5

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
5日前

9

問題文

外接円の直径が$5$,$AB:AD=5:7$の内接四角形$ABCD$において,$\triangle ABC$の内心,$B$傍心をそれぞれ$I_1$,$I_B$とし,$\triangle ADC$の内心,$D$傍心をそれぞれ$I_2$,$I_D$とすると,$I_1$,$I_2$,$I_B$,$I_D$は同一円周上にあり,$I_1I_B\cdot I_2I_D=40$を満たした.$AC$の中点を$M$としたとき,$BM+DM$を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P3

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
5日前

18

問題文

$\angle B=90^{\circ}$なる直角三角形$ABC$において,$AC$の中点を$M$とすると,$BC$上(端点を除く)に$AB=MP=MQ$なる異なる$2$点$P$,$Q$をとることができ,$B$,$P$,$Q$,$C$はこの順にあった.また,$B$を直線$MQ$について対称移動した点を$X$とすると,$AX=11$,$PX=18$を満たした.このとき,$BC$の長さの$2$乗を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

P4

Lamenta 自動ジャッジ 難易度:
5日前

22

問題文

$\triangle ABC$において,内心を$I$,重心を$G$とし,$I$ から$BC$,$CA$,$AB$に下ろした垂線の足をそれぞれ$D$,$E$,$F$とすると,$G$は$EF$上にあり,$IG=1$,$BD:DC=3:5$を満たした.このとき,$\triangle ABC$の周長の$2$乗を求めよ.

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.

OMC不採用問題(700C)

MARTH 自動ジャッジ 難易度:
6日前

5

$4$ 行 $6$ 列のマス目の各マスに $1$ 以上 $12$ 以下の整数を書き込みます. 上から $i$ 行目, 左から $j$ 列目にあるマスに書かれた数を $a_{i,j}$ で表すとき, 以下を満たす書き込み方は何通りありますか?

  • $j=1,2,3,4,5$ について以下の値が正の奇数となる.
    $$
    \min_{1\leq i\leq 4}(a_{i,j+1}-a_{i,j})
    $$
12日前

19

問題文

正整数 $n$ を与えたところ,以下の等式をみたす実数 $x$ がちょうど $4$ つ存在しました.
$$x^2 - 18\sqrt{n}|x| - 30n + 1110 = 0$$$n$ のとり得る値の総和を求めて下さい.

解答形式

半角英数にし,答えとなる正整数値を入力し解答して下さい.

Isosceles triangle

Uirou 自動ジャッジ 難易度:
21日前

3

問題文

$\triangle{ABC}$ は $AB=AC,∠{BAC}=40°$ を満たす。線分$BC$の中点$M$と$\triangle{ABC}$の内部の点$P$について、直線$AM$に関して直線$PM$を対称移動させた直線を$m$、$m$と直線$AP$の交点を$Q$とすると、$PB>PC,∠BPC=110°,∠AQM=15°$を満たしました。このとき、$∠PBC$の大きさを度数法で求めてください。ただし、答えは互いに素な正の整数$a,b$を用いて$(\dfrac{a}{b})°$と表されるので、$a+b$ を解答してください。

解答形式

例)半角数字で入力してください。


問題文

正整数 $x, y, z$ が以下の等式を同時にみたすとき,積 $xyz$ の値としてあり得るものの総和を求めてください.

$$x + y + z = 48,x^2 + y^2 + z^2 = 1110$$

解答形式

半角英数にし,答えとなる正整数値を入力し解答して下さい.

E. 更に分割

G414xy 自動ジャッジ 難易度:
30日前

8

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。?
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。