数学の問題一覧
問題文
$ $ 次の等式をみたす正整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めて下さい．
$$x^3 + 2x^2y + x^2z + xy^2 + xyz = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$$
解答形式
半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．
問題文
この予想は、正の整数を表現する際の「最も効率的な方法」に注目します。私たちは通常、数を数字の並び（例: $123$）として表現しますが、この予想では、「指数 ($a^b$)」と「桁連結 ($a \Vert b$、例: $2 \Vert 3 = 23$)」という2種類の操作を使って表現することも考慮します。
それぞれの表現方法には「コスト」がかかります。
- 数字の並びで直接表現するコスト: その数の桁数。
* 例: $C_D(7) = 1$, $C_D(123) = 3$
- 指数や桁連結を使って表現するコスト: 各要素のコストと、使った操作1回につき追加で1。
* 例: $C(2^3) = C(2) + C(3) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$
ある数 $X$ に対し、これらの方法で考えられる全ての表現の中で最もコストが低いものを「最適表現」とします。
予想の内容:
$C(X)$ を「最適表現」のコスト、$C_D(X)$ を「直接桁で表現するコスト（桁数）」としたとき、$C(X) < C_D(X)$ となるような整数 $X$ が出現する間隔は、最終的にある固定された整数 $P > 1$ を周期として持つ。
解答形式
この予想について反例を見つけるか、この予想が正しいか証明をしなさい。
$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について，線分 $AC$ の中点を $M$ とし，内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り，三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする．$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき，線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
正の整数について定義され，$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり，任意の正の整数 $x,y$ について
$$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$
を満たすものすべてについて，$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき，$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ．
対角線同士が $E$ で交わっている凸四角形 $ABCD$ について，
$$BA=9, AD=6, DC=7, \angle AED = \angle ADC = \angle DCB$$
が成り立っているとき，線分 $BC$ の長さは整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
$2$ 番目に小さい正の約数と $3$ 番目に小さい正の約数の和が $12$ であるような，正の約数が $3$ つ以上ある正の整数のうち，$100$ 以下のものの総和を求めよ．
$(i,j) (0\leq i,j\leq 2)$ の $9$ 個の格子点がある．いま，この中から $n$ 点をうちどの $3$ 点も直角三角形を成さないように選ぶことができる最大の正の整数 $n$ を $N$ とし，$n=N$ のときの条件を満たす選び方を $M$ 通りとするとき，$M^N$ を解答せよ．
問題文
三角形 $ABC$ の内部に点 $D$ をとると $DB＝DC,AC＝AD, \angle DBC=19^{\circ}, \angle ABD=30^{\circ} $ が成立したので $\angle BAC$ の大きさを度数法で解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap
問題文
$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$，円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$，円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると，$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき，$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap