数学の問題一覧

${}$　西暦2026年問題第5弾です。僕の西暦問題では珍しく多項式がテーマです。数の大きさに怯むかもしれませんが、上手く処理すれば単純な計算で求まります。ぜひ挑戦してください。

解答形式

${}$　解答は$x$の値をそのまま半角で入力してください。「$x=$」の記載は不要です。
（例）$x=$105 → $\color{blue}{105}$

問題文

$n,kをn≠kで3以上の自然数とする。$
$このとき、正n角形において、その内部をn個の正k角形で重複なく、また隙間なく敷き詰められるような(n,k)を求めよ.$

解答形式

(〇,◇)
記号も数字もすべて半角でお願いします。

問題文

$N=p^q-pq$とします。$N-1$が平方数、$p,q,\frac{N}{2},N+1,N+3$がいずれも素数になるような$N$としてありうる最小の値を求めてください。

解答形式

半角整数で答えてください。

問題文

$n>10$ とする。
$n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。

必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。

問題文

自然数 $a,b,c$ が互いに異なる自然数であるとき
$$N=(9a-1)^2+9b^2+9c^2=(9a+1)^2-9b^2-9c^2$$と表される自然数 $N$ の最小値を求めよ。

問題文

以下の二つの等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$\begin{cases} a-b=3c \\ a^3-b^3-c^3=c^5 \end{cases}$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

$$\frac{2^{22}-22^2-4-44^4}{2 \times 22+4 \times 44}= \space ?$$$?$ に入る自然数を答えよ。

問題文

$2025^{2026}+2026^{2025}$ について以下の問いに答えよ。

$(1)$ $625$ で割った余りを求めよ。

$(2)$ 下 $4$ 桁の数を求めよ。

解答形式

答え二つを半角カンマ(,)で区切って答えてください。
例)123,456

追記：解答を修正しました。答えが合っているのに誤答判定された方は申し訳ございません。

問題文

以下の等式を満たす自然数 $a,b,c$ の組を全て求めよ。
$$a^b(c-1)+a+c=2^{bc-1}-a-b=2026$$

解答形式

$a,b,c$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2,3
12,34,56

問題文

$0<m<n$ とする。以下の等式を満たす自然数 $m,n$ を全て求めよ。
$$\frac{(m+n-1)^4-(m+n-2)^4+m-n+1}{4(m+n-1)+m-n}=2026$$

解答形式

$m,n$ の値をカンマ(,)で区切り、答えが複数ある場合は行を分けて答えてください。

例
1,2
12,34

問題文

四面体 $\mathrm{ABCD}$ の各辺 $\mathrm{AB\,,AC\,,AD\,,CD\,,DB\,,BC}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P\,,Q\,,R\,,S\,,T\,,U}$ とする$.\,$ 四角形 $\mathrm{PQST\,,QRTU}$ がともに長方形となるとき$,$
$\mathrm{AB^2+CD^2=AC^2+DB^2=AD^2+BC^2}$
となることを示せ$.$

解答形式

簡単な証明をお書きください$.$

問題文

$n$ を自然数とする。 $n^5+n+1$ が互いに異なる $4$ つの素数の積で表されるような $n$ のうち最小のものを答えよ。