数学の問題一覧

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

問題文

$3$ つの円が互いに外接し$,\,$ かつ各円が直線 $l$ に接している$.\,$ $1$ つの円と直線 $l$ との接点を $\mathrm{O}$ とし$,\,$ その円と他の $2$ 円との接点をそれぞれ $\mathrm{A\,,B}$ とする$.\,$ $\mathrm{O}$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする$.\,$ 線分 $\mathrm{AB}$ の長さを $d$ として$,\,$ 線分 $\mathrm{OH}$ の長さを $d$ を用いて表せ$.$

$$問　題$$
$自然数Nと素数p,q,rが以下の式を満たすとき、Nを求めよ。$
$$
\begin{cases}
N＝p^qq^pr\\
p ^q +q ^p＝r
\end {cases}
$$

問題文

ウサギとカメが、$1000$ $\mathrm{m}$ の距離を競走した。カメは $5$ $\mathrm{m/}$分 の速度で出発し、休むことなく歩き続けた。しかし、進むにつれその速度は $1$ $\mathrm{m}$ 当たり $0.001$ $\mathrm{m/}$分 の割合で連続的に遅くなった。一方、ウサギは $200$ $\mathrm{m/}$分 の速度で走り続けたが、途中で一休みした。 競走の結果、カメはウサギよりも $1$ 分早くゴールした。このとき、ウサギは何分休んでいたか。

解答形式

$\ln{2}=0.693, \ln{5}=1.609$ とし、整数(半角数字)で解答せよ。

問題文

以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします．
$$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$

このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください．
$$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの31番の問題と同じです．

問題文

以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．
$$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$

このとき，以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$

解答形式

整数で解答してください．

補足

https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20
こちらの14番の問題と同じです．

問題文

$x^6+3x^4+2x^2-1$ を整数係数範囲で因数分解してください.

解答形式

与式は複数個の多項式に因数分解できるので,できるだけ因数分解し,
多項式毎に $x$ の指数 $+1$ と係数の積の和を求め,それらを掛けたものを入力してください.
例.)
$(x^2+x+3)(2x^3+5x+1)$ と因数分解できたとき,
答える値は $(3\cdot1+2\cdot1+1\cdot3)(4\cdot2+2\cdot5+1\cdot1)=152$ です.

問題文

$\omega$ を $1$ の $3$ 乗根のうち $1$ でないものの一方とします．
$$S={\sum_{k=1}^{2026} \frac{1}{k^2+(2\omega+1)k-1}}$$
としたとき，$\left|\frac{S-1}{S}\right|$ を求めてください．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ を解答してください．

問題文

以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$

解答形式

整数で解答してください

問題文

実数係数 $10$ 次多項式 $f(x)$ は以下を満たしている．
$$f(0)=2025$$$$f(1)=25$$

$f(x)=0$ の（重複度を込めた）$10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とする．
$\frac{1}{\alpha_1},\frac{1}{\alpha_2},...,\frac{1}{\alpha_{10}}$ を根にもつ実数係数 $10$ 次多項式のうち，最高次の係数が $1$ であるものを $g(x)$ としたとき，$g(1)$ を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください

問題文

３点A(-1,-2),B(2,1),C(𝑝+𝑞,𝑝-𝑞)
に対して実数𝑝,𝑞が
𝑝²+𝑞²+𝑝+𝑞≦3/2を満たすとする。
このとき３点A,B,Cを通る上に凸な二次関数が
存在しないような点Cの取りうる範囲の面積を求めよ。

解答形式

半角で答えのみ。分母に無理数が来る時は有理化し最も簡単な形で解答してください。
回答の際に一文字目に計算記号が来ないようにしてください。
(ダメな例)-2√2+π→(良い例)π-2√2
また掛け算の記号は省略し分数はa/bの形で表すこと。根号→√ 円周率→π ネイピア数→e

問題文

$n^2+78n-79$ を $100$ で割った余りが平方数とならないような最小の正整数 $n$ を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください（数字のみ）。