数学の問題一覧

問題

$n=1,2,3...、k=0,1,2...n-1$とします。

また、不等式$$a_1<a_2<...<a_n≦n$$

を$A_0$とし、$A_0$の$n-1$個の$<$のうち$k$個が$≦$に置き換わったものの一つを$A_k$とします。

ここで、$A_k$をみたす正整数$(a_1,a_2...a_n)$の組の総数を$N_k$とするとき、$N_0+N_1+...+N_{n-1}$を$n$を用いて表してください。

解答形式

$C$(コンビネーション記号)を用いて、$aCb$の形で表すことができるので、$a,b$の間に半角スペースを入力して、$a$ $b$を半角英数字で入力してください。
追記:ただし、$b$は$2$つの値が考えられるので、小さい方を入力してください。
例)$nC2→n$ $2,2nCn→2n$ $n$

※初めの解答では指定がなく間違い判定になった方がいたので修正させていただきました、、

$$
{a}_1=1,{a}_n=3{{a}_{n+1}}+n+2\\について、次の問に答えて下さい。
$$
$$
(1){a}_n=-\frac{(ア)}{3}n∔\frac{(イ)}{8}
$$
$$
(2){a}_n>120となるとき、初めて負になるのは、（ウエ）である。
$$

問題

$n=1,2,3...$とします。
$$6n ^5+10n^3+15n^2+29n$$を必ず割り切ることの出来る正整数として最も大きいものの値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

$$
次の因数分解の形はどれか。\\
{m}^{2}{n}^{2}+lm{n}^{2}+{l}^{2}{m}^{2}n+{l}^{2}m{n}^{2}
$$
$$
(1)l(lm+1)(ln+n)(m+mn)
(2)l(ln+m)(mn+1)(l+mn)
(3)l(ln+1)(m+n)(lmn+mn)
(4)l(lm+1)(m+n)(mn+lmn)
$$

$$
次の因数分解した形はどれか。\\
ab+bc+{a}^{2}{b}^{2}+a{b}^{2}c
$$
$$
(1){ab}^{2}(bc+1)
(2){bc}^{2}(ab+1)
(3)2ab(bc+1)
(4)(ab+1)(ab+bc)
$$

$$
|{i}^{2n+1}|
$$

$$
|{i}^{2n}|
$$

$$
\frac{log_28^{|a|}+log_327^{|b|}}{log_416^{|c|}}(a<0,b<0,c>0)\\について、符号を調べて下さい。
$$
$$
(1)-(2)+
$$

$$
\frac{-|{a}|-|{b}|}{c}(a<0,b>0,c>0)\\について、符号を調べて下さい。
$$
$$
(1)－(2)＋(3)∓(4)±
$$

問題

$n$を正整数、$r$を$n$以下の非負整数として、$nCr$を$〈n,r〉$と表します。ここで、$n>2$であるとき、$$〈〈n,2〉,2〉$$が$5$の倍数とならないような$2$桁以下の正整数$n$の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。
$$\begin{eqnarray}
A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\
B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A )
\end{eqnarray}$$とするとき$A,B$は
$$
A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ}
$$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えよ。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素である。

$$
\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{{{{{{{{{{log_xx}^{log_{2}{8}}}^{log_{3}{81}}}^{log_{4}{16}}}^{log_{5}{25}}}^{log_{6}{36}}}^{log_{7}{49}}}^{log_{8}{64}}}^{log_{9}{81}}}^{log_{10}{100}}}}}}
$$
$$
この解は、どれか。
$$
$$
(1)89(2)90(3)91(4)92
$$