数学の問題一覧

問題文

$AB=AC=19,CE=DE=22$ である直角二等辺三角形 $ABC,CDE$ を $B,C,D$ がこの順に一直線上に並び、$A,E$ が $BD$ に関し同じ側にあるように置く。$CD$ の中点を$M$、$AM$ と $BE$ の交点を $P$ ,直線 $PC$ と $\triangle BMP$ の外接円の交点を $Q(\neq P)$ としたとき、$BQ^2$ を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり、その垂心を $H$、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とすると、$2\angle BAD=\angle CAD,AC=11,DH=4$ であった。このとき、線分 $BC$ の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$ は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$ と表せるので、$p+q$ の値を求めてください。

問題文

$n$を素因数分解したときの2の指数を$v_{2}(n)$と表します。
この時、$$v_2\left( \prod_{k=1}^{2025} (5^k - 1) \right)$$の値を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$0$ から $9$ まで書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ $10$ 枚あります。これらを $1$ 列に並べ替えてからいくつかの部分に区切ると、それぞれの部分を $10$ 進数で読んだ数はすべて素数になりました。このとき、できた素数の総和としてありうる最小の値を求めてください。ただし、それぞれの部分の最初のカードに書かれた数は $0$ でないものとします。

解答形式

半角数字で答えてください。

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において，内接円の半径は $2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった．このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

次の式を満たす相異なる正の整数$p，q$を全て求めよ。

$$p^{p+q}−q^{p+q}＝(pq)^p−(pq)^q$$

解答形式

$p＋q$の値をそれぞれの組で求め総和した値を半角で入力してください。

問題文

任意の自然数$i$に対して、$z_i$は$z_i^6=1$を満たす複素数である。複素数$w$について、$w= \sum_{k=1}^{100}z_k$とするとき、$w$がとりうる値の個数を求めよ。

解答形式

自然数(半角入力)のみで答えてください。

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題

複素数の定数 $\alpha$ に対し、$|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $D$ とおく。以下の解答欄を埋めよ。

（１）$\alpha=0$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を中心とする半径 $\fbox{ア}$ の円の周上および内部になる。

次に $|\alpha|>0$ の場合を考える。以下、$\displaystyle \arg \alpha=\frac{6}{11}\pi$ とする。

（２） $|\alpha|=1$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を通る直線となり、偏角が $\displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi,\ \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi$ であるような複素数を全て含む。ただし $0\leq \displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi < \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi<2\pi$ とする。

（３） $0<|\alpha|<1$ の場合を考えよう。原点を中心として $z$ を反時計回りに $\displaystyle -\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi$ だけ回転させた複素数を $w$ とおく(ただし $z=0$ のときは $w=0$ とする)。$z$ が $|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たして動くときに $w$ が動く領域について考察することで、$D$ に対応する複素数平面上の図形が明らかになる。特に $|\alpha|=0.4$ のとき、$D$ の面積は $\displaystyle\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}\pi$ である。

解答形式

解答欄ア〜シには、それぞれ0から9までの数字が1つ入る。同じカタカナの解答欄には同じ数字が入る。

（１）の答えとして、文字「ア」を半角で1行目に入力せよ。

（２）の答えとして、文字列「イウエオカキク」を半角で2行目に入力せよ。

（３）の答えとして、文字列「ケコサシ」を半角で3行目に入力せよ。

なお、分数はできるだけ約分された形となるように答えること。

問題

$1234567$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots, a_{1234567}$ が、$n=1,2,\ldots,1234567$ に対して

$$a_{n+1}a_{n}a_{n-1}=a_{n+1}+a_{n}^2+a_{n-1}$$

を満たしている。ただし $a_0=a_{1234567},\ a_{1234568}=a_1$ とする。このような実数列 $a_1,a_2,\ldots, a_{1234567}$ には最大で何種類の異なる実数が現れるか。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。