数学の問題一覧

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします．
$R_{24}$を素因数分解しなさい．
但しレピュニット数とは，各桁が全て$1$である数のことを指します．

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて，
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので，$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め，半角数字で入力して下さい．

問題文

SKG学院の文化祭では，$1$から$10$の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています．

このダイス$10$個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました．

ここで以下のような事実が分かっています．
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について，番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします．

・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす．

この$10$個のダイスを同時に一回振る時，出目の積の期待値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

今年でSKG学院の文化祭は第$66$回を迎えます．また今年度は $2025$ 年です．

さて$0,2,5$ のみを用いた数式の内，答えが $66$ となるようなものを一つ求めてください．

但し，演算子($+, -, \times$ など)は自由に用いて良いものとします．

一例:

$\left( (2 \times 0 \times 2 \times 5)! + (2 \times 0 \times 2 \times 5)! \right) \times \left( 2^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 \right) = (1+1) \times 33 = 66$

解答形式

式と答えを省略無しで入力して下さい．上の例とは違うものをお願いします．

問題文

聖くんと光くんはトランプゲームを行うことにした．

なお$1$ から $13$ までの数字が書かれたトランプをそれぞれ四枚ずつ用いる．

ルールは以下の通り．
- 聖くんはトランプを $1$ 枚から$3$ 枚まで引くことができる．
- 光くんは幾つかの質問をして,聖くんが引いたトランプに書かれた数字を回答する．

光くん「書かれた数字の和を教えて」
聖くん「$31$ だよ」
光くん「うーん難しいな……なにかヒントくれない？」
聖くん「トランプに書かれた数字の積を求めたら、各位の和は $2$ になったよ」

光くんが引いたトランプの目として考えられるものを全て求めなさい。

解答形式

答えが$1,2,4$の場合は$(1,2,4)$と入力して下さい.(小さい順に)

問題文

$6106$以下の正整数$N$について以下のようにスコアを定める．
スコア：整数$a,b(a≦b)$の組で$ab=N$を満たすようなものの個数．
スコアが$2$となるような$N$は何通りありますか．
但し，以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい．
http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

SKG学院では$5×5$のマス目を使い，とあるゲームが行われている．
ゲームのルールは以下の通り．
・お客さんと生徒がじゃんけんをする．勝った方が先手，負けた方が後手となる．
この時あいこは考えないものとする．
・先手は黒の碁石，後手は白の碁石をマスの上に交互に置いていく．
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない．
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び，その個数を数える．
特別な辺：ある行の$5$マスを見た時お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの．
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち，奇数であれば生徒の勝ちとなる．

お客さんが勝つ確率を$A$，お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数を$B$とする．
$A×B$の値を求めなさい.
但し回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$
i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)
$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題文

それぞれの面に $1,2,3,4,6,9$ が書かれたどの面も等確率に出る $6$ 面サイコロ $D$ があります．
$D$ を $1018$ 回転がしたときを考える．その出た目の総積を $T$ とし，そのときのスコアを以下のように定義します．

• $T$ が平方数のとき， $T$ の正の約数の個数をスコアとする．
• $T$ が平方数でないとき， $T$ の正の約数のうち $6$ の倍数であるものの個数をスコアとする．

スコアの期待値が非負整数 $A$ を用いて $\dfrac{A}{6^{1018}}$ と表せるので $A$ を素数 $1013$ で割ったあまりを求めてください．

解答形式

半角数字で非負整数を入力してください。

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3

問題文

次の方程式を解いて、$x$の値をすべて求めてください。
$$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=0$$

解答形式

$a,b,c,d,e$のように解答してください。($π$はpiで$i$(虚数単位)はiで分数は$\frac{1}{2}$の場合は1/2のように解答してください。)

方程式 $x^2+xy+y^3=7$ の表す図形を $y$ 方向に $\fbox{ (1) }$ 平行移動してから $\fbox{ (2) }$ に関して対称移動し，$x$ 方向に $\fbox{ (3) }$ 平行移動し，$\fbox{ (4) }$ に関して対称移動すると，方程式 $x^3-3x^2+xy-y^2+5y=0$ の表す図形となる．

以上の空欄 $(1)\sim(4)$ を適切に補充せよ．ただし，$(1),(3)$ には数値を答え，$(2),(4)$ には以下の語群から言葉を選び答えよ．

【語群】
$\mathrm A.\,x$ 軸
$\mathrm B.\,y$ 軸
$\mathrm C.$ 直線 $y=x$

答えは，空欄 $(1),(2),(3),(4)$ に当てはまる数または記号をそれぞれ $1,2,3,4$ 行目に記して答えよ．
ここで，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
と記すこと．

【解答例】
3
A
-5/13
B