数学の問題一覧

問題

実数$x，y$が
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1\\
2x^3+2y^3=1
\end{cases}
$$
を満たしている．

(1)$cos3θ$を$cosθ$を用いて表せ．

(2)$x+y$のとりうる値をすべて求めよ．

解答形式

三角関数を含む形で解答してください．

問題文

$$\sum_{i=1}^{n} x_i^n = y^n$$
$x_i$がすべて互いに素でnが6以上のときこの式を満たす自然数は高々有限個しか存在しない。

解答形式

この命題が真か偽を証明しなさい。

問題文

$D_n$ を $1$ から $n$ までの整数の順列 $(a_1, a_2, \cdots ,a_n)$ のうち
$$a_k \neq k \quad (k=1, 2, \cdots ,n)$$ を満たすものの個数とする. 例えば, $D_2=1, D_3=2, D_4=9$ である.
このとき,任意の素数 $p$ に対して$$D_{p-1} \equiv \sum_{k=0}^{p-1}{k! } \pmod{p}$$ となることを示せ.

解答形式

方針だけでも採点します

問題文

ある数は2の倍数であり、1を引くと3の倍数である。この数を、小さい順で10個答えよ

解答形式

数字を10個

問題文

$a^{17}+b^{17}=c^{17}$を満たす自然数の組み合わせ$(a,b,c)$が存在しないことを示せ。

解答

多少厳密じゃなくても正解になります。

問題文

リーマンゼータ関数の自明でないゼロ点は閉じた形で表せられるか。

解答形式

証明またはリーマンゼータ関数の自明でないゼロ点の閉じた形を解答しなさい。

問題文

gcd(a,b)=1 なる2以上の正整数a,bについて、
$$a^3b-ab^3$$
が平方数とならないことを示せ。

解答形式

解答の文章を入力してください(省略ok)

$S$を集合として$M$をその任意の部分集合とする。
(i). $\mathfrak{O}_M:=\{X|M\subset {X},X\subset {S}\}\cup{}\{\emptyset\}$は$S$の位相となることを示せ。
(ii).{$\mathfrak{O}_M\}_{M\in\mathcal{P}(S)}$以上の濃度をもつ$S$の位相の集合は存在するか。するなら具体的に一つ述べよ。
ただし$S$の濃度$|S|≧2$とする。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，$A,B$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E$ とし，線分 $DE$ 上に点 $P$ をとると，以下が成立しました．

$$AB＝3,\quad AC＝5,\quad \angle PAB=\angle PBC,\quad \angle PAC =\angle PCB $$
このとき線分 $AP$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

プロジェクト空間 $\mathbb{P}^2$ 内の射影多様体 $V = Z(x^3 + y^3 + z^3) \subset \mathbb{P}^2$ を考える。この多様体が非特異であることを示しなさい。

解答形式

証明してください。

問題文

$p, q, r $を互いに異なる3つの素数とする。

整数 $K = (qr)^{p-1} + (rp)^{q-1}+ (pq)^r$が、
$K ≡ p+q-1　(mod r)$
という条件を満たすとき、和 $p+q+r$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

数列 ${a_n} $を、初項 $a_0 = 2, a_1 = 1 $と、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n (n ≧ 0) $によって定める。
集合 $S $を、$1 ≦ k ≦ 42$ を満たす整数$ k $のうち、方程式 $m^2 - 43n = k $が整数解 $(m, n)$ を持たないような $k$ 全体の集合とする。
このとき、積 $P$ $= ∏_{k ∈ S} a_k$ を$43$で割った余りを求めよ。

解答形式

半角左詰め