数学の問題一覧

問題文

集合 $\{ 1,2,...,20 \}$ を $X$ とおきます。
全射である関数 $f:X \to X$ であって以下の条件を満たすものはいくつありますか？
$n< 7$ を満たす正整数全てについて、ある正整数 $k$ が存在して $f^k(n)>11$ が成立する。
補足: $f^n$ は $f$ の $n$ 回合成です。

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

この四角に切れの解はいくつ存在しますか？
http://pzv.jp/p.html?shikaku/21/21/zzzi.z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z.9z..z..z..z..z..i

解答形式

非負整数で入力してください

問題文

冨安四発太鼓保存会は冨安四発太鼓の競技化を進めており、全ての曲の長さは $1$ 単位時間と定められました。
冨安四発太鼓のスコアは次のように定められています。
曲が開始した時刻を $0$ とし、太鼓が叩かれた時刻を小さい順に $t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時に、スコアは $t_1^{39}t_2^{71}t_3^{94}t_4^{104}$ と定められます。
フニャオ君は曲の中で太鼓をランダムに $4$ 回叩きます。正確には区間 $[0,1]$ から実数を一様ランダムに選ぶという行為を独立に $4$ 回行い選ばれた実数を小さい順に並べ$t_1,t_2,t_3,t_4$ とした時、時刻 $t_1,t_2,t_3,t_4$ に太鼓を叩きます。
この時、フニャオ君のスコアの期待値を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を求めてください。

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

繧ｨ繝ｩ繝ｼ

マ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ標蜻ｪ謔ｲ魑ｴ上蜻ｪ格諤ｨ蠢ｵに蜻ｪ店蟄､迢ｬカ蜻ｪェ蜻ｪチ諤ｨ蠢ｵン店蜻ｪす。
諤ｨ蠢ｵの蜻ｪ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ諤ｨ蠢ｵに諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ、最蜻ｪ近諤ｨ蠢ｵのマ諤ｨ蠢ｵッ諤ｨ蠢ｵカ謔ｲ魑ｴと蜻ｪ蜻ｪ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪン蟄､迢ｬは諤ｨ蠢ｵ蜻ｪど $1001$ に蟄､迢ｬま蜻ｪ。
$x,y$ 蜻ｪ標諤ｨ蠢ｵち諤ｨ蠢ｵ $1$ 蜻ｪ上 $n$ 以蜻ｪで謔ｲ魑ｴよ諤ｨ蠢ｵマ蜻ｪ蜻ｪッ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪフ諤ｨ蠢ｵ店蜻ｪ数諤ｨ蠢ｵ大値蜻ｪ $f(n)$ 諤ｨ蠢ｵる蟄､迢ｬ全蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ数 $n$ に蜻ｪ謔ｲ魑ｴ $cf(n)\geq n^2$ が謔ｲ魑ｴ立謔ｲ魑ｴ蜻ｪ謔ｲ魑ｴ負整蜻ｪ $c$ 蜻ｪ最小蜻ｪを蟄､迢ｬて諤ｨ蠢ｵさ蜻ｪ。

逡ｰ蟶ｸ逋ｺ迴ｾ

非謔ｲ魑ｴ数蜻ｪ解諤ｨ蠢ｵて蜻ｪ謔ｲ魑ｴい。

問題文

周長が $10^5$ であり全ての辺の長さが整数であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

厳密な問題文
$a+b+c=10^5$ が成り立ち尚且つ各辺の長さが $a,b,c$ である三角形が存在するような順序付いた正整数の組 $(a,b,c)$ 全てについて各辺の長さが $a,b,c$ であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\frac{a}{b}\pi$ と表せるので、$a+b$ の値を解答してください。

問題文

$10^{12}$ 以下の正整数であって，$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか？

解答形式

非負整数で入力してください。

問題文

$AB<AC$ の鋭角三角形 $ABC$ について，$\angle{BAC}$ の二等分線と線分 $BC$ との交点を $D$ とし，点 $D$ から線分 $AB,AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $F,E$ としたとき，以下が成立しました． $$AE=4,CE=2,CD=2\sqrt{2}$$ 三角形 $ABC,AEF$ の外接円をそれぞれ $\omega_1,\omega_2$ ，その中心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$\omega_1$ と $\omega_2$ との交点のうち $A$ でない方を $P$ ，直線 $PO_2$ と直線 $DO_1$ との交点を $Q$ としたとき，線分 $PQ$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました． $$r=6,R=13,BC=24$$ 直線 $AI$ と直線 $HO$ との交点を $D$ としたとき，線分 $OD$ の長さは互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ を解答してください．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました． $$\angle{BAC}=60^\circ,r=4,R=10$$ このとき，三角形 $HIO$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ を満たす三角形 $ABC$ について，その内心を $I$ ，外心を $O$ ，垂心を $H$ ，内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ としたとき，以下が成立しました． $$\angle{AIO}=90^\circ,r=7,R=15$$ このとき，四角形 $OIBC$ の面積は最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数 $b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$a+b+c+d+e$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

中心を $O_1,O_2$ とする $2$ 円 $\omega_1,\omega_2$ が $2$ 点 $A,B$ で交わっています．半直線 $O_1A$ と $\omega_2$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $C$ とし，半直線 $O_2A$ と $\omega_1$ が点 $A$ 以外の点で交わったのでその交点を $D$ とすると，以下が成立しました． $$O_1A=3,O_2A=AB=2$$ このとき，$CD$ の長さは最大公約数が $1$ である正整数 $a,c,e$ と平方因子を持たない正整数
$b,d$ を用いて $\displaystyle\frac{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}{e}$ と表せるので，$abcde$ を解答してください．

解答形式

例）半角数字で入力してください。