数学の問題一覧

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり， $B$ から $AC$ への垂線の足を $D$ とし，重心を $G$ ，垂心を $H$ とする．このとき $4$ 点 $B,C,G,H$ は共円であり$AD＝3,CD＝5$であったので， $AB$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

問題文

$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について垂心を $H$ とし，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $BH$ ，直線 $CH$ の交点をそれぞれ $(D\neq B),E(\neq C)$ とする．半直線 $DE$ と直線$BC$の交点を$P$とすると，三角形 $AEH$ の外接円は直線 $HP$ に点 $H$ で接し， $PH＝3,AE＝4$ であった．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: MrKOTAKE

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$AB=AD$ なる線分 $BC$ (端点を含まない) 上の点を $D$，円 $ABD$ と線分 $AC$ の交点を $E(\neq A)$，円 $BEC$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．
直線 $BF$ と円 $FDC$ が再び交わる点を $P$ とすると，$AP\parallel BC$ かつ $PE=5, BC=12$ が成立したとき，$AB$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
Writer: pomodor_ap

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問9

数列 ${a_n}$ ($a_n \in {0,1,2,3,4}$) が $a_1=1, a_2=1$ および漸化式 $a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_n \pmod{5}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。$a_{2025}$ の値を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問7
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 0, a_2 = 1$ および漸化式
$$ (n+1)a_{n+2} - (3n+2)a_{n+1} + 2na_n = 0 \quad (n \ge 1) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

設問6

数列 ${a_n}$ が $a_1 = \sin^2 \alpha$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) および漸化式 $a_{n+1} = 4a_n(1-a_n)$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問5

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}$ ($n \ge 1$) を満たすとする。
一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

設問3
正四面体の4つの頂点を A, B, C, D とする。点Pは、1ステップごとに、現在いる頂点と辺で結ばれた他の3つの頂点のいずれかに等確率（それぞれ確率 $1/3$）で移動する。最初に点Pは頂点Aにいるものとする。
$n$ 回移動後に点Pが頂点Aにいる確率 $a_n$ を求めよ。

解答形式

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

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問題文

数列 ${a_n}$ ($n \ge 0$) が、初期値 $a_0 = 3$ および以下の漸化式で定義されるとする。
$$a_{n+1} = a_n^2 - 2 \quad (n \ge 0)$$
この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。
ただし、黄金比を$Φ$とする。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。