数学の問題一覧
問題文
鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，線分 $BC$ の中点を $M$，直線 $BH$ と $AC$，$CH$ と $AB$ の交点をそれぞれ $E, F$ とし，直線 $AH$ と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $T$，直線 $TM$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点を $S$，直線 $BS$ と $HC$ の交点を $X$，直線 $TM$ と $AC$ の交点を $Y$ とすると，
$$BH=HE, AH=9, XY=7$$
が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．
問題文
$x^{100}+2x^{80}+4x^{60}+4x^{40}+2x^{20}+1=0$ の複素数解を $a_1, a_2, …, a_{100}$ とするとき，$$\sum_{k=1}^{100} \dfrac{a_k^3+2a_k^2+3a_k+4}{a_k^3+a_k^2+a_k+1}$$ の値を求めてください．
問題文
$1+2+3+…+20$ 個の白い円を下の図（図では $1+2+3+4$ の場合を表している）のように正三角形状に並べる．次の条件を全て満たすように，いくつかの円を黒く塗る．ただし，段とは水平方向に並ぶ円の集合を指す．
- どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
- 図全体を $120^{\circ}$ 時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
- 図全体を $120^{\circ}$ 反時計回りに回転させた時，どの段にも黒い円が $1$ つ以上存在する．
上から $k$ 段目 $(1\leq k\leq 20)$ 段目には $k$ 個の円がある．条件を全て満たす塗り方のうち，黒い円の個数が最も少なくなるような塗り方は何通りあるか．ただし，回転や裏返しで一致する塗り方も異なるものとして考えるものとする．
問題文
すべての項が素数であるような数列 $a_1, a_2, …, a_N (a_1 \le a_2 \le … \le a_N)$ であり，$a_1^2+a_2^2+…+a_N^2=999$ を満たすもののうち，$N$ が最小のものすべてについて，$a_1+a_2+…+a_N$ の総和を解答せよ．
問題文
数列$\ a_{n}$は以下のように定義されます.
$$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2\cos\frac{n\pi}{3}$$
このとき,$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50000}a_{k}$$の正の約数の個数を解答してください.
解答形式
整数で解答してください.
問題文
正の整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_1=2, a_2=-4, a_{n+2}-2a_{n+1}+4a_n=0}$$
を満たしている。
${|a_{2025}|}$ の正の約数の個数を求めよ。
解答形式
整数で入力してください
問題文
整数 ${n}$ に対して定義される数列 ${a_n}$ が
$${a_0=2, a_1=4, a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0}$$
を満たしている。
$${a_{2026}-a_{-2026}}$$
を求めよ。
解答形式
整数で入力してください
問題文
$n,a$を自然数とする。$n!$の末尾の$０$の個数を$N(n)$,$n$を$a$進数で表した時の各桁の和を$S_{a}(n)$とする。(例えば$S_{10}(141)=6$)
このとき，$N(n)$を$S_{a}(n)$，$n$を用いて表せ。
1.
半径 $r$ の円 $ \mathrm{O}\ $があり、この円の周上に定点 $ \mathrm{A}\ $ がある。点 $ \mathrm{A}\ $ における円 $ \mathrm{O}\ $の接線を $l$ とする。円 $ \mathrm{O}\ $ 上を動く点 $ \mathrm{P}\ $ に対し、点 $ \mathrm{P}\ $ から直線 $l$ に下ろした垂線の交点を $ \mathrm{H}\ $ とする。
(1) $\mathrm{AP}^{2}\ $を $r$ と $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。
(2) $k$ を定数とする。 このとき ${\mathrm{AP}^{2}=k\cdot \mathrm{AH}}$ が成り立つことを示せ。
(3)${\triangle \mathrm{APH}}$の面積を $ \mathrm{AH}\ $ を用いて表せ。また、点 $ \mathrm{P}\ $が円 $ \mathrm{O}\ $上を動くとき、${\triangle \mathrm{APH}}$ の面積が最大となる点 $ \mathrm{P}\ $の位置を求めよ。
2.
座標平面上に2点$ \mathrm{A}(1,0)$, $\mathrm{B}(0,1)$ がある。$(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}) $の範囲を動く点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ) $を考える。
(1) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積を $\theta $ を用いて表せ。
(2) $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積の最大値を求めよ。
(3) $\triangle \mathrm{ABP}$ が直角三角形となるような $\theta $ の値をすべて求めよ。
(4) $\triangle \mathrm{ABP}$ の重心 $ \mathrm{G}$ の軌跡を求めよ。
3.
二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ を考える。ただし、(a,b,c) はすべて奇数である整数とする。このとき、この二次方程式の解が無理数であることを証明せよ。
4.
数列 ${{a_{n}}}$は、${a_{1}=1}$ であり、すべての自然数 $n\ $に対して $${a_{n+1}=\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+2}}$$を満たすものとする。
(1) ${{a_{n}}}$ の一般項を求めよ。
(2)すべての自然数 $n\ $に対して、${a_{n}<\sqrt{3}}$ であることを示せ。
(3) ${|a_{n}-\sqrt{3}|<\frac{1}{2^{n-1}}(\sqrt{3}-1)}$ が成り立つことを示せ。
5.
$a,b$を正の実数とする。楕円 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ $上の点 $\mathrm{P}(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0) $における接線を $l$とする。接線 $l$と $x$ 軸、および$y$軸で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。
(1) 点 $\mathrm{P}$が楕円上を動くとき、面積 $S$ の最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。
(2) 楕円の焦点の1つを $\mathrm{F}\ $とし、$\mathrm{F}\ $と接線 $l$との距離を $d$ とする。この時、$d$の最大値と最小値を $(a,b)$ を用いて表せ。
(3) 焦点 $F$ から接線 $l$ までの距離を$d_{1}$、もう1つの焦点 $F^{\prime }\ $から接線 $l$ までの距離を$d_{2}$とする。このとき、 $d_{1}d_{2}$ は常に一定であることを示せ。また、その値を$(a,b)$ を用いて表せ。
問題文
$1\leq a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5\leq 100$ をみたす整数の組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ すべてについて，次の値の総和を求めよ．
$$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{5}$$