数学の問題一覧

$AB < AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D,1:3$ に内分する点を $E,$ 三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると $\angle DHE=90°$ で，四点 $A,C,D,H$ は共円となりました。$BC=9$ の時，$AB^2$ を求めてください.

$$\left\lfloor \dfrac n2 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n3 \right\rfloor+ \left\lfloor \dfrac n6\right\rfloor $$が素数になるような自然数 $n$ のうち $10$ 番目に小さいものを求めてください．

次の和の値を求めよ．$$\displaystyle\sum_{m=1}^{100}\displaystyle\sum_{n=1}^{100}{\left\lfloor \dfrac{m+100}{m+n-1} \right\rfloor}$$

五角形$ABCDE$が以下を満たしています． $$\angle B=\angle E=60°,\angle A=\angle C=90°$$ $$AB+AE = CB+CD=11,AC=7$$ この時，この五角形の面積は互いに素な正の整数 $a,b,c,d$ を用いて $\dfrac{b\sqrt{c}-d}{a}$ と表せるので， $a+b+c+d$ の値を回答してください．ただし， $a,b,d$ は最大公約数が $1$ で，$c$ は平方因子を持ちません．また $∠X$ は，頂点 $X$ における内角の大きさを表します．

以下の方程式の $0 \le x < 2\pi$ における解の総和は，正の整数 $a,b$ を用いて $a\pi -b$と表せるので， $a+b$ の値を回答してください．$$\{\cos{x}+\cos{(6x+1)}+\cos{(8x+3)}\}^2+\{\sin{x}+\sin{(6x+1)}+\sin{(8x+3)}\}^2=1$$

東君の家に $9$ 人の友達が遊びにきたので，東君のお母さんは $10$ 人に $1$ 枚ずつクッキーをくれました．今， $10$ 人は円形のテーブル席に等間隔に座っており，次の操作に従ってクッキーを渡します．

操作 $\alpha:$ ある子がその対角線上に座っている子にクッキーを渡す.

操作 $\beta:$ ある子が時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡すと同時に，別のある子が反時計回りに $1$ つ隣に座っている子にクッキーを渡す．

適当な回数 $\alpha, \beta$ を繰り返すことで実現可能なクッキーの配分は何通りありますか．
ただし， $10$ 人は区別し，クッキーは区別しないものとします．

問題

$図形ABCD$があり、$\angle DAB=\angle DCB=15°,\angle ABC=90°,$$AB=2\sqrt{3},CB=6$のとき$図形ABCD$の面積は$\sqrt{a}+b$となる。このときの$a+b$の値を求めよ。ただし、$AD\leq AB$とする。

問題

$\angle ABC=8°,\angle ACB=100°$である$△ABC$がある。$辺BA,BC$をそれぞれ$点A,C$の方向へ延ばし、$半直線BA,BC,辺AC$に接する$円O$をつくる。$点A,C$と$円O$の中心を結んだ線と$円O$との交点を$点D,E$とする。$円O$の$孤AC$上であり、$辺AC$の反対側に$点F$をとるとき、$\angle DFE$の大きさを求めよ。

解答形式

$\angle ,°$は要りません。

問題

$四角形ABCD$があり、$AB=15,BC=1,CD=26$である。また、$AC,BD$を結ぶ。このとき$△ABC$の内接円の半径を$r_{1},△ABD$の内接円の半径を$r_{2},△ACD$の内接円の半径を$r_{3},△BCD$の内接円の半径を$r_{4}$とする。このとき$r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}$であり、$AC×BD=420$であった。
このときの$四角形ABCD$の面積を求めよ。

長方形ABCDがあり
ADがBCより上
AD上にAE=3cmとなるEを取り
AB上にAF=2cmとなるFを取る。
FとEを結ぶ
BとDを結ぶ
AとCを結ぶ
ACとEFの交点をG
ACとBDの交点をHとする。
またEとHを結びBCとの交点をI
IとGを結ぶBDとの交点をJとする。
AB=3cm
BC=4cm
であるとき。
三角形GIEの面積を求めよ

解答形式

問題

$y=x^{2}$のグラフ上に$x$座標が$n-1,n,n+1$である$点A,B,C$がある。$点A,点B$を通る直線をグラフ$l$、$点B,点C$を通る直線をグラフ$m$とする。グラフ$l,m$と$y$軸の交点を$点D,E$とするとき$△DEB$の面積は$ab^{c}$と表せるこのときの$a,b,c$の値を求めよ。

解答形式

一行目に$a$の値を、二行目に$b$の値を、三行目に$c$の値を、書いてください。

問題

正$n$角形があり、次の手順で$点A,B,C$を定める。
手順$1$「$n$の値をルーレットにて決める。($3\leq n\leq 2m$)」
手順$2$「ルーレットにて$点A$を手順$1$で定めた正多角形の頂点上にとる。」
手順$3$「同じようにして$点B$を$点A$と異なる頂点上にとる。」
手順$4$「同じようにして$点C$を$点A,点B$と異なる頂点上にとる。」
このとき、$△ABC$が直角三角形となる確率は
$$\frac{a}{b(c-d)}\sum_{k=e}^{f}\frac{g}{h-i}\quad$$となる。($a\geq g$とする。)このとき$a,b,c,d,e,f,g,h,i$に当てはまる数を下の(1)~(20)から選んでください。(同じものを複数回選んでもよい。)

(1)$\frac{k}{4}$
(2)$\frac{k}{2}$
(3)$k$
(4)$2k$
(5)$4k$
(6)$\frac{m}{4}$
(7)$\frac{m}{2}$
(8)$m$
(9)$2m$
(10)$4m$
(11)$1$
(12)$2$
(13)$3$
(14)$4$
(15)$5$
(16)$6$
(17)$7$
(18)$8$
(19)$9$
(20)$10$

解答形式

一行目に$a$に当てはまる数の番号を、二行目に$b$に当てはまる数の番号を$\cdots $といった感じで答えてください。