数学の問題一覧

$AB<AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，直線 $EF$ と $BC$ の交点を $X$ とすると，$XA=XE$ が成立した．線分 $AX$ の中点を $M$ とし，三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $MXD$ の外接円が $2$ 点で交わったのでそれらを $Y,Z$ とすると，$A,Y,H,Z,C$ はこの順に同一円周上に並んだ．$XY=XZ$ のとき，$\dfrac{AB}{BC}$ の二乗は正の整数 $a,b,c$ ($a$ と $c$ は互いに素) を用いて $\dfrac{a-\sqrt{b}}{c}$ と表せるので，$abc$ を解答せよ．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上(端点を除く)に点 $D$ があり，三角形 $ABD$ の外接円と線分 $AC$ が点 $E$ で再び交わった．線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とすると，三角形 $BDF$ の外接円と線分 $AB$ が点 $G$ で再び交わり，$GB = GE$ が成立した．また直線 $FG$ と線分 $BC$ が点 $H$ で交わり，$\angle BAD = \angle CAH$ をみたした．$AE = 5 , DG = 2$ であるとき，線分 $GH$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a , b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ の値を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB < AC$ なる三角形 $ABC$ の辺 $AC$ 上に $AB = CP$ なる点 $P$ をとり，$2$ 点 $A , P$ を通り，直線 $BP$ に接するような円を $\omega$ とする．いま，三角形 $ABC$ の外接円と $\omega$ は $A$ でない点で交わったので，その点を $X$ とすると，直線 $AB$ は $\omega$ に接し，さらに次が成立した． $$BC = 12 ,　PX = 5$$ このとき，線分 $BP$ の長さの $2$ 乗を解答せよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

$x, y, z$ を正の実数とする。以下の連立方程式を満たすとき、$xy + yz + zx$ の値を求めよ。
$x^2 + xy + y^2 = 25$
$y^2 + yz + z^2 = 36$
$z^2 + zx + x^2 = 49$

解答形式

√を含む場合は根号の中身がなるべく小さくなるようにして√部分と係数部分を分けて解答してください。
·解答例　15√3のとき
15
3

問題文

角xの大きさを求めなさい

上の図は4×4マスの正方形とそれに内接する円でできている。縦の線を左からA、B、C、D、Eとし、横の線を上からF、G、H、I、Gとする。
点は交点を表している。
追記:縦線Bと横線Iとの交点にも点がありましたが、つけ忘れてしまいました。

解答形式

角度を表す「°」は入りません。数字のみを答えればOKです。
小数が出てきた場合、小数点は省略して答えてください。
100.5°→1005

素数 $p, q$ に対して、$4p^3 + 27q^2$ が平方数となるような組 $(p, q)$ をすべて求めよ。

答える際には(p,q)の各組の積を足した数を入力してください。
·解答例(p,q)=(2,3),(5,7)のとき
2×3+5×7=41から41を入力してください。
もし存在しないのであれば0を入力してください

問題文

$x,y,z$を互いに異なる正整数とする。
次の命題は真か。

$「\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$が整数ならば、$\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$も整数$」$

解答形式

真または偽と入力してください。

【問題】
自然数 $n$ に対して、$f(n) = \lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \rfloor$、$g(n) = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$ と定義する。
ただし、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表す。

このとき、$f(1729) + g(1729)$ の値を求めよ。

※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）

【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。

$$S = n \times 10^k + m$$

（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）

$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。

※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例　(n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88

【問題】
数列 ${a_n}$ を $a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ とします。
また、この数列の初項から第$n$項までの積を $P_n$ とします。
（$P_n = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n$）

$\log_{10}2=0.30$、$\log_{10}3=0.48$ として、$P_n$ が初めて100桁以上の整数となるような自然数 $n$ を求めてください。

※自動判定のため、答えの数値のみを半角で入力してください。（入力例：42）

【問題】
自然数 $n$ に対して、$n$ を10進法で表したときの各位の数の和を $S(n)$ とする。（例えば、$S(2026) = 2 + 0 + 2 + 6 = 10$ である。）
4桁以下の自然数 $n \ (1 \leqq n \leqq 9999)$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $S(2n) = 2S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(2) $S(2n) = S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(3) 以下の値をそれぞれ求めよ。
　(i) $\sum_{n=1}^{9999} S(n)$
　(ii) $\sum_{n=1}^{9999} S(2n)$

※自動判定のため、(1)、(2)、(3)(i)、(3)(ii) の解答 を、上から順に入力してください

【問題】

定数 $p \ (p \neq 1)$ を用いて、関数 $g(x) = x^3 - 3x^2$ のグラフ（曲線 $C$）上で次のような操作を繰り返す。

• 最初の点：曲線 $C$ 上に点 $Q_1(x_1, g(x_1))$ をとる。ただし、$x_1 = p$ とする。
• 次の点の決め方：自然数 $n$ について、点 $Q_n(x_n, g(x_n))$ における接線を $l_n$ とし、接線 $l_n$ が曲線 $C$ と再び交わる点を次の点 $Q_{n+1}(x_{n+1}, g(x_{n+1}))$ とする。

このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 接線 $l_n$ の傾きを $m_n$ とする。数列 ${m_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。
(2) 曲線 $C$ と接線 $l_n$ で囲まれた部分の面積を $S_n$ とする。数列 ${S_n}$ の一般項を $p$ と $n$ を用いて表せ。

※自動判定のため、解答には求めた式に $p=2, n=3$ を代入したときの $m_3$ を1行目に、 $S_3$ を２行目に入力してください。
例$m_3$=15,$S_3$=150のとき
15
150