数学の問題一覧
公開日時: 2025年11月1日12:52 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
奇数回で当たる確率が $\dfrac{2}{n}$，偶数回で当たる確率が $\dfrac{3}{n}$のくじを$n$回引いた時，少なくとも1回当たる確率を $P_n$，1回以上当たった時，最初の当たりが奇数回で起こる確率を $Q_n$ とするとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}Q_n$ を求めてください.
解答形式
求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください. 数字は半角で入力してください.
公開日時: 2025年11月1日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
第1問
次の空欄$(ア)～(オ)$に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
数列{$a_{n}$}を次のように定める。
$$a_1=a_2=1,a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=0 (nは自然数)$$この数列の一般項は
$a_n=\frac{(ア)}{\sqrt{(イ)}}$$sin\frac{nπ}{(ウ)}$
である。
また、$a_{2025}=(エ)$であり、$$\sum_{n=1}^{2025}{a_n}=(オ)\quad$$である。
公開日時: 2025年10月31日23:50 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
ある円周上に点をランダムに無限個打ち，打った順に $A_1,A_2,A_3,\cdots$ とします．また，以下のルールに従い点つなぎを行います．
ルール
- ペン先を $A_1$ に置く．
- 現在のペン先が $A_i$ にあるとき，$A_i$ と $A_{i+1}$ を線分で結ぶ．このとき，ペン先は $A_{i+1}$ へと移動する．
- 途中で他の線分と端点を除いて交わってしまう場合，現在の線分を消して点つなぎを終了する．
引くことの出来る線分の本数の期待値を $E$，分散を $V$ としたとき $V=f(E)$ となる整数係数多項式 $f$ がただ $1$ つ存在するので，$|f(1685)|$ の値を解答してください．
解答形式
半角数字で解答してください
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題文
$x,y$を非負整数とする。
$10x+31y=1031$
を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。
誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。
解答形式
組$(x,y)$について、$x+y$の総和を半角数字で入力してください。
公開日時: 2025年10月31日0:00 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
問題文
$f^{1031}(x)=f(x)$を満たし、かつ$f(1031)=1031$である多項式関数$f(x)$をすべて求めよ。
ただし、$f^{1031}(x)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{1031個}(x)\cdots))$とします。
解答形式
簡単な証明もお願いします。