数学の問題一覧
問題文
三角形 $ABC$ があり，その内接円と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とする．$B$ について $F$ を対称移動した点を $X$ とし，$C$ について $E$ を対称移動した点を $Y$ とし，三角形 $AXY$ における $A$ を含まない弧 $XY$ の中点を $M$ とすると，以下が成立しました．
$$AX=20,\quad AY=24,\quad DM=19$$
このとき線分 $XY$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$と表されるので $a+b$ を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $AO$ と $BC$ の交点を $D$ とし，三角形 $BDH$ の外接円と線分 $AB$ の交点のうち $A$ でないものを $E$ とすると以下が成立しました．
$$AE=78,\quad BE=13,\quad \angle AED=90°$$
このとき線分 $BH$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，その内心を $I$ とし，直線 $BI$ と線分 $AC$ の交点を $D$ とすると，以下が成立しました．
$$AB=8,\quad AC=10,\quad AD=AI$$
このとき三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
三角形 $ABC$ があり，辺 $AB$ の中点を $M$ とし，$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする．直線 $AD$ と $CM$ の交点を $P$ とし，直線 $BP$ と $AC$ の交点を $E$ とすると，以下が成立しました．$$AB=21,\quad CD=12,\quad CE=16$$
このとき線分 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．
解答形式
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
問題文
$p$を素数,$n$を正の整数とします.$3p^2=n!+141$を満たす$n,p$の組を全て求めてください.
解答形式
与式を満たす組$(p_1,n_1),(p_2,n_2)...(p_m,n_m)(p_1<p_2<...p_m)$について,
$p_1\times n_1+p_2\times n_2 +... p_m\times n_m$の値を半角数字で入力してください.
問題文
$x$ に関する $n$ 次方程式 $(n \ge 1)$
$${x^n+nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+...+n!\left(=\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{P}_{n-k} x^k\right)=0}$$ の重複を含めた $n$ 個の複素数解を $\alpha_{n,1},\alpha_{n,2},...,\alpha_{n,n}$ とし，これらが $1$ でないことが証明できるので，
$${g(m)=\prod_{n=1}^{m}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha_{n,k}-1}\right)}$$ とします．以下の値を求めてください．
$$\frac{g(2025)g(2026)}{g(2025)+g(2026)}$$
解答形式
求める値は整数になるので，それが $3$ で割り切れる最大の回数を解答してください．
問題文
$x$ に関する $243$ 次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$ の重複を含めた $243$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
数列 ${\lbrace F_n \rbrace(n=0,1,...)}$ を ${F_0=1,F_1=1,F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${(n \ge 2)}$ で定めます．
$x$ に関する $15$ 次方程式
$${x^{14}+x^{13}+2x^{12}+...+233x^2+377x+610\left(=\sum_{m=0}^{14}F_{m}x^{14-m}\right)=-x^{15}+2026}$$
の重複を含めた $15$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{15}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{15}\alpha_{k}^{15}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
${x}$ に関する ${100}$ 次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$ の重複を含めた ${100}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{100}}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $4$ 次方程式
$${x^4+4x^3+6x^2+8x-2357=0}$$
の重複を含めた ${4}$ 個の複素数解を ${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{4} (\alpha_{k}+1)^4}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$
解答形式
整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．
問題文
${x}$ に関する ${2026}$ 次方程式
$${x^{2026}+2025x-2024=0}$$
の重複を含めた ${2026}$ 個の複素数解を ${α_1,α_2,...,α_{2026}}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{2026}α_k^{2026}}$$
解答形式
整数で解答してください．