数学の問題一覧
問題文
${x}$ に関する ${100}$ 次方程式
$${x^{100}+27x^{99}+9x^{98}+243=0}$$ の重複を含めた ${100}$ 個の複素数解を ${α_1, α_2, ...,α_{100}}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{100}α_k^2$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $100$ 次方程式
$${x^{100}-20x^2+26x+2026=0}$$ の重複を含めた $100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{100}\alpha_{k}^{98}}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
$x$ に関する $10$ 次方程式
$${x^{10}+2x^9+4x^2+3x-2026=0}$$ の重複を含めた $10$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{10}$ とします．以下の値を求めてください．
$${\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{\alpha_k}}$$
解答形式
求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．
問題文
$2027$ 次の多項式 $f(x)$ は，$0$ 以上 $2027$ 以下の任意の整数 $n$ について $f(n)=\frac{243}{n+1}$ をみたします．また，
$${f(x)=0}$$ の重複を含めた $2027$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{2027}$ とします． $${S_n=\sum_{k=1}^{2027}\alpha_{k}^{n}}$$ とするとき，以下の値は整数になるので，これを素数 $2029$ で割ったあまりを $M$ とします． $${\sum_{n=1}^{2027}S_n}$$ 以下の値を求めてください．
$$M+S_1$$
解答形式
整数で解答してください．
解答すべき値が「 $M+S_1$ を $2029$ で割ったあまり」ではないことに注意してください．
問題文
$x$ に関する $243$ 次方程式
$${x^{243}+3x^{242}+5x^{241}+...+485x+487\left(=\sum_{m=0}^{243}(2m+1)x^{243-m}\right)=243}$$ の重複を含めた $243$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{243}$ とします．以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=1}^{243}\alpha_k^{243}$$
解答形式
整数で解答してください．
問題文
正整数 $n$ であって以下を満たす $n$ と互いに素な正整数 $m$ が存在するものの総和を求めてください．
- $\dfrac mn$ の小数第 $i$ 位を $a_i$ とすると，正整数 $j$ であって任意の正整数 $k$ に対して $a_k=a_{j+k}$ を満たすようなものが存在して，かつその最小値が $6$ である．
解答形式
半角で解答してください．
2026/3/8 23:48に問題の不備解消のため太字部分を追加しました。
問題文
$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり, 垂心を $H$ とします. $B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とし, 直線 $EF$ と直線 $AH,BC$ との交点をそれぞれ $G,K$ とすると, 三角形 $FKH$ の外接円と三角形 $EGH$ の外接円は再び線分 $BC$ 上の点 $X$ で交わりました.
$$KB=1 EG:GK=4:5$$
が成り立つとき, 線分 $GX$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので, $a+b$ を解答してください.
解答形式
半角で入力してください。
問題文
以下の $2$ つの条件をともに満たす正の整数 $x$ の総和を求めてください．
- $\sqrt{105625 - x^2}$ は整数である．
- $x$ と $\sqrt{105625 - x^2}$ の最大公約数は素数である．
解答形式
半角左詰めでお願いします
正の整数 $n$ に対して, 以下の条件をすべて満たす正の整数の組 $(x, y)$ の個数を $f(n)$ と定めます.
- $\mathrm{lcm}(x, y) = n$
- $x$ は $y^2$ の約数である
- $y$ は $x^2$ の約数である
$f(n) = 15$ を満たす正の整数 $n$ のうち, 小さい方から数えて $10$ 番目のものを求めてください.
問題文
素数 $p = 10^9 + 7$ とし，整数 $N$ を $N = 10^{18} + 14000000047$ と定義します．
このとき，次の値 $S$ を $p$ で割った余りを求めてください．
$$S = \sum_{k=0}^{\lfloor N/2 \rfloor} \binom{N}{2k} 5^k$$
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$2$ 以上の整数 $n$ が以下の条件を満たすとき, $n$ を「頑固な数」と呼びます.
- $x^3 \equiv 1 \pmod n$ を満たす任意の整数 $x$ に対し, $x \equiv 1 \pmod n$ が成立する.
$(29!)^2$ の正の約数のうち, 「頑固な数」はいくつありますか.
解答形式
半角左詰めでお願いします
問題文
$3^{20}+2^{25}=3520338833$ は素因数を $3$ つもつので，それらの総和を解答してください．
解答形式
半角で入力してください。