$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,とする.直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし,辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする.直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$,直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし,三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると,以下が成立した.
$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$
このとき,$AB$ の長さを求めてください.
互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので,$a + b + c$ を答えてください.
4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を,小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします.このとき,以下の値を求めてください:
$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$
互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.
三角形 $ABC$ の外心を $O$,垂心を $H$,外接円を $\Gamma$ とする.そして,以下のように点を4つとる.
このとき,3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった.
$$AH=17 , AO=11$$
のとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.
答えを2乗した値は,互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.
三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:
$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$
このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.
非負整数で解答してください.
以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか.
非負整数で解答してください.
ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました.
このとき,$n$ の最小値を求めてください.
半角数字で正整数で答えてください.
追記:答えを訂正しました.miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません.
正五角形 $ABCDE$ があり,その中心を $O$ とします.線分 $BO$ 上に点 $F$ を,線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり,三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると,以下が成立しました.
$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$
このとき,正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください.
ただし,正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします.
答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので,$a+b+c$ を解答してください.