nmoon

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Twitter ID: @_nmoon__

B

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
7日前

52

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて,$m + n$ の総和を求めてください.

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください.

A

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7日前

40

問題文

正三角形 $ABC$ の内部に点 $P$ をとったところ,以下が成立しました.

$$AP = 10 , BP = 14 , CP = 16$$

このとき,正三角形 $ABC$ の面積を求めて下さい.

解答形式

求める値を $2$ 乗した値は正整数となるので,その値を求めて下さい.

C

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7日前

40

問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます.そして,以下の操作をできなくなるまで行います.

  • 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について,黒板から $x,y$ を消し,$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む.但し,このとき,操作前と操作後での黒板に書かれた数が,重複を許して全て一致することはないようにする.

全ての操作が終了したとき,黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください.

解答形式

正整数で答えてください.

E

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7日前

21

問題文

横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります.そして,以下の操作を何度か行い,黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします.

  • 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで,左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す.

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします.最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが,これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください.
 但し,オセロの石は,片方が黒面で,もう片方が白面であるとする.

解答形式

正整数で答えてください.

F

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7日前

7

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,とする.直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし,辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする.直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$,直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし,三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると,以下が成立した.

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき,$AB$ の長さを求めてください.

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので,$a + b + c$ を答えてください.

D

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7日前

37

問題文

$0$ 以上 $1$ 以下の実数 $a_{1} , a_{2} , a_{3}$ について,以下の値の最大値を求めてください.

$$a_{1} + 2a_{2} +3a_{3} +4\sqrt{a_{1}(1-a_{1}) + a_{2}(1-a_{2}) + a_{3}(1-a_{3})}$$

解答形式

求める値を $M$ としたとき,$10000M$ の整数部分を解答してください.

B

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
11月前

33

問題文

3種類の文字 $A,B,C$ を用いて以下の条件を満たした長さが5の文字列は全部でいくつあるか.

  • $A$ の右隣にある文字は $B$ ではない.

  • $B$ の右隣にある文字は $C$ ではない.

解答形式

非負整数で解答して下さい.

D

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
11月前

12

問題文

4次方程式 $x^4-4x^3-21x^2-8x+4=0$ の4つの相異なる実数解を,小さいものから順に $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ とします.このとき,以下の値を求めてください:

$$\displaystyle\frac{1}{a_{1}^2-a_{1}a_{2}+a_{2}^2}+ \displaystyle\frac{1}{a_{3}^2-a_{3}a_{4}+a_{4}^2} $$

解答形式

互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

C

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
11月前

15

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$,垂心を $H$,外接円を $\Gamma$ とする.そして,以下のように点を4つとる.

  • 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする.
  • 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする.
  • 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする.
  • 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする.

このとき,3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった.

$$AH=17 , AO=11$$

のとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えを2乗した値は,互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

A

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
11月前

42

問題文

2つの正整数 $a,b$ の組のうち,最小公倍数が最大公約数の $10$ 倍となり,$a+b=154$ を満たすもの全てについて,$ab$ の総和を求めてください.

解答形式

非負整数で解答してください.

外心と内心

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
18月前

8

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$,外心を $O$ とする.直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし,直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると,以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.

KMTで使ったやつ②

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
19月前

11

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とし,辺 $AB,AC$ 上にそれぞれ点 $D,E$ をとると,以下が成立した:

$$\angle{DME}=90^{\circ},AD=6,DB=2,AE=7,EC=3$$

このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.

解答形式

非負整数で解答してください.

KMTで使ったやつ①

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
19月前

12

問題文

以下の条件を満たすような $15$ 個の白石と $15$ 個の黒石の並べ方は何通りありますか.

  • 任意の白石について,その石の左側にある黒石の個数は $2$ の倍数である.
  • 任意の黒石について,その石の左側にある白石の個数は $3$ の倍数である.

解答形式

非負整数で解答してください.

2024とは全く関係ない整数問題

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
21月前

14

問題文

ある正整数 $n$ は以下の条件を満たしました.

  • 異なる素因数をちょうど $3$ つもつ.
  • $n$ の素因数を小さい順に $p_{1},p_{2},p_{3}$ とすると,$\displaystyle\frac{n+1}{p_{1}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{2}+1},\displaystyle\frac{n+1}{p_{3}+1}$ が整数になる.

このとき,$n$ の最小値を求めてください.

解答形式

半角数字で正整数で答えてください.

追記:答えを訂正しました.miq氏にはご迷惑をおかけして申し訳ありません.

A

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
23月前

47

問題文

$11 \times 11$ の長方形のマスのうちいくつかを次の条件を満たしながら黒色に塗っていきます.

  • 黒色に塗られた任意の $2$ つのマスは辺を共有しない(頂点は共有しても良い).

このとき,黒色に塗ることができるマスの数は最大でいくつですか.

解答形式

正整数で答えて下さい.

C

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
23月前

72

問題文

正整数 $a , b$ の最大公約数を $g(\not=1)$,最小公倍数を $l$ としたとき,以下が成立しました.

$$\dfrac{l - 1}{g - 1} = 100$$

このときの $(a , b)$ の組としてあり得るものを全て求め,$a + b$ の総和を求めてください.

解答形式

正整数で答えて下さい.

D

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
23月前

17

問題文

正五角形 $ABCDE$ があり,その中心を $O$ とします.線分 $BO$ 上に点 $F$ を,線分 $EO$ 上に点 $G$ をとり,三角形 $AFG$ の外接円と線分 $AB,AE$ との交点をそれぞれ点 $P,Q$ とすると,以下が成立しました.

$$\angle{FAG}=54^{\circ} , PB=28 , QE = 30$$

このとき,正五角形 $ABCDE$ の一辺の長さを求めてください.
ただし,正多角形の中心とはその正多角形の外接円の中心のことを表すとします.

解答形式

答えは正整数 $a,b,c$ を用いて $a+\sqrt{b - \sqrt{c}}$ と表されるので,$a+b+c$ を解答してください.

B

nmoon 自動ジャッジ 難易度:
23月前

51

問題文

$-1\leq k \leq 1$ を満たす実数 $k$ において,$10k + 11\sqrt{1-k^2}$ の最大値を $2$ 乗したものを求めてください.

解答形式

正整数で答えて下さい.