kusu394

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします．正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき，$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました．$n$ として考えられる最小の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）

問題文

$7216$ のように，

• $11$ の倍数である．
• 上 $1$ 桁を無視してできる数は立方数である．（すなわち，ある整数 $m$ を用いて $m^3$ と表せる）

の $2$ 条件を満たす $4$ 桁の正整数を 祭数 といいます．最大の祭数を解答してください．ただし，上 $2$ 桁目等が $0$ である場合の上 $1$ 桁を無視してできる数とは上 $1$ 桁の数とそれに続く $0$ を無視した数とします．例えば $1011$ の上 $1$ 桁を無視してできる数は $11$ です．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

実数 $x$ に対し
$$f(x)=4x^2+4x+5$$
と定めるとき，$f(f(x))$ の最小値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．

• 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
• 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

『猫又おかゆ』の目の前に左右 $1$ 列に $9$ 個のおにぎりが並んでいます．おにぎりの種類は鮭，うめ，おかかの $3$ 種類のうちいずれかです．並んでいるおにぎりについて，『猫又おかゆ』は次のことに気づきました．

• すべての種類のおにぎりがある．
• ある種類のおにぎりは $1$ 個しかない．
• おにぎりの種類が左右対称に並んでいる．

『猫又おかゆ』の目の前にあるおにぎりの種類の並びとして考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

等式
$$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます．$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください．　

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$a + b + c = 999$ かつ $a \le b \le c$ を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ であって，
$2^a, 2^b, 2^c$ が非退化な三角形の三辺の長さとなるものは何通りありますか．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$\angle ABC $ と $\angle BCA$ が鋭角であるような $\triangle ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．また，$M$ から辺 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P, Q$ とすると、線分 $AM, BQ, CP$ が一点で交わります．

$$ AB = 12, \ \ BC= 20 $$

のとき，$\triangle ABC$ の面積の二乗としてありうる値の総和を解答してください。

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

正角形 $ABCDEF$ について，辺 $AB,BC,DE, EF$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R,S$ があり，
$$AP =1,\ \ BQ =2,\ \ DR =3,\ \ ES =4$$ が成り立ちます．四角形 $PQRS$ の面積が $64\sqrt3$ のとき，正六角形の一辺の長さは正の整数 $a,b$ を用いて $a + \sqrt b$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正三角形 $ ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり，
$$PQ=3,\ \ \ \ QR=5,\ \ \ \ RP=7,\ \ \ \ AB=9$$ を満たしています．このとき，線分 $AQ$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

正方形 $ABCD$ の辺 $BC$ 上に点 $E$ をとると，
$$BE=7,\ \ \ \ CE=5$$が成り立ちます．$E$ を中心とした半径 $7$ の円を $O$ とし，正方形 $ABCD$ の内部かつ円 $O$ の周上の点 $F$ をとると直線 $DF$ は円 $O$ の接線となりました．このとき，線分 $CF$ の長さは正整数 $a,b$ と素数 $c$ を用いて $\displaystyle{\frac{a+\sqrt{b}}{c}}$ と書けるので $a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

追記
答えひらがなな訳ありませんでした、失礼しました

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

座標平面において $A(0,4000),B(-3000,0),C(3000,0)$ をとります．次の条件をすべて満たすような直線 $\ell$ として考えられるものは何通りありますか．

• $\ell$ と直線 $AB$ は点 $P$ で交わり， $P$ の $x$ 座標は $-3000$ より大きく $0$ より小さい．
• $\ell$ と直線 $AC$ は点 $Q$ で交わり， $Q$ の $x$ 座標は $3000$ より大きい．
• 線分 $BP$ の長さと線分 $CQ$ の長さは整数値である．
• $\ell$ と $x$ 軸の交点を $R$ とするとき，$\triangle RPB$ と $\triangle RQC$ の面積は等しい．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正整数 $N$ が 素直 であるとは以下の条件をともに満たすことを言います．

• $N$ は十進法表記で $6$ 桁であり，各桁に $0$ も $9$ も含まない数である．
• $N$ の上 $i$ 桁目を $a_i$ とするとき，「$a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_6$」もしくは「$a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_6$」のいずれかが成り立つ．

素直な整数の総和を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか．ただし，$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり，上一桁の数は $1$ です．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

正整数 $N$ について，次の $2$ つのことがわかっています．

• $N$ を素因数分解すると $N=3^2 \times 11 \times 31 \times 2,354,911,118,533$ である.
  ただし，「 $,$ 」は $3$ 桁ごとの区切りです．
• $N$ の各桁に現れる数字は $2$ 種類あり，それらを $a,b\ (a \gt b)$ としたとき，$a$ と $b$ の現れる回数は等しい.

$10a+b$ の値を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．