uran

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.

問題文

$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，

・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$a_{1},a_{2}, \cdots , a_{1500}$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{1501}=a_{1} =1,a_{1502}=a_{2}$ と定義すると全ての $1500$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1} \neq a_{k}$ が成り立ち，かつ $1500$ 以下の正整数 $i$ のうち，

・$(a_{i},a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
・$(a_{i},a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
・$(a_{i},a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．この数列としてありうるものの数が $3$ で割れる最大の回数を求めてください．(電卓の使用を推奨します．)

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.