問題文
図 $A$ の $16$ 個の正三角形のマスからなる図形について，その各マスを白または黒のいずれか $1$ 色で塗
ることを考えます．以下の条件を満たす塗り方をすべて求めてください．ただし，回転させて一致するものは同じと考えます．また，図は印刷して思考に用いてもらっても構いません．
- 図 $B$ に示す図形と合同であるような図 $A$ の任意の4マスの組の選び方は $8$ 通りあるが，その組の塗り方は互いに異なる．
ただし，回転させて一致する塗り方は同じとして考え、そのような図 $B$ の塗り分け方も8通りある．
解答する数値
すべての塗り方に対し，黒で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を以下の解答形式に合わせて解答してください．
回転させて一致するものは同じと考えるため，この数値は点対称にしてあります．つまり，白で塗られるマスに書いてある数字の和を求め，その総積を解答しても同じ値になります．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$AB<AC<BC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，点 $C$ から $\angle BAC$ の二等分線に下ろした垂線の足を $D$ とします．$BC$ 上に2点 $P,Q$ を取ると，$4$ 点 $APQD$ は半径が $\sqrt{66}$ の同一円周上にあり，以下が成り立ちました．
$$AB=BQ，AC=CP，PQ=12$$
この時，三角形 $ADC$ の面積を求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$AB<AC$ であり，$\angle BAC > 90^\circ$ なる三角形 $ABC$ があり，外接円の中心を $O$ とします．また，点 $C$ を通り点 $A$ で直線 $AB$ に接する円を $\Gamma_{1}$ ，中心を $P$ ，点 $B$ を通り点 $A$ で直線 $AC$ に接する円を $\Gamma_{2}$，中心を $Q$ とします．$\Gamma_{1}，\Gamma_{2}$ の交点のうち，点 $A$ ではないものを $R$ とすると，
$$AP=14,AQ=10，OR=6$$
が成り立ちました．$AC$ の長さを求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$\angle BAC > 90^\circ$ なる鈍角三角形 $ABC$ とその外接円 $\Gamma$ があります．点 $B$ における円 $\Gamma$ の接線 $l$ 上に点 $D$ を $\angle DBC > 90^\circ$ となるように取り，線分 $DC$ と 円 $\Gamma$ の交点を $E$ とします．すると以下が成り立ちました．
$$2\angle DBE = \angle EBC，BD=15，DE=9，AB=BE$$
この時，$AB$ の長さを求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
数列 ${a_n}$ は $1\sim 100$ の正整数の並び替えであり，以下が成り立っています．
- $1\leqq m\leqq 99$ に対して$a_{m}+a_{m+1}\equiv 1\pmod{2}$
- $1\leqq n\leqq 98$ に対して$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\equiv 0\pmod{3}$
数列 ${a_n}$ としてありうるものは何通りありますか．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$1$ 以上 $n$ 以下の自然数であって，$n$ と互いに素なものの個数を $\phi(n)$ とします．
$$0\equiv \phi(n)\equiv\phi(n+1)\pmod{26}$$
となるような正の整数のうち，最小のものを求めて下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$n$ の約数の個数を $d(n)$ で表します．以下の式が成り立つ $n$ をすべて求めてください．
$$9(d(n)+d(n+1))^2=4n+409$$
ただし，$409$は素数です．
解答する数値
$n$ の総和を以下の解答形式に合わせて解答して下さい．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
正の実数 $x,y$ に対して $x^2-y^2=1$ が成り立っています．$\sqrt{\frac{y}{x}+1}+\sqrt{\frac{1}{x}+1}$ の最大値を求めてください．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$a,b$ を $a\leqq b\leqq 30$ を満たす素数とします．
$$\frac{a^3+b^3+8}{a+b+2}$$
が整数となる $a,b$ の組をすべて求めてください．
解答する数値
求めた全ての組について，$a\times b$ を計算し，以下の解答形式に合わせその総和を解答してください．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
正の実数 $x$ に対してその整数部分を $a$ ，小数部分を $b$ とします．以下の等式を満たす最大の $x$ を求めてください．
$$x=\frac{a^3}{2026b}$$
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
漸化式
$$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$
があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
問題文
$0,1,2,3$ の数字が $11$ 個，黒板に横並びで書かれています．以下の操作を繰り返したとき，$0$ となる初期配置は何通りありますか?
- 隣り合う項の和を $3$ で割ったあまりに同時に書き換える．
例えば，$01233210$ は一度操作を行うと，$1020201$ となります．
解答形式
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例
$66$→66
$0.75$→75
$\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$
$\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$
$2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$