対数と整数

RentoOre 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年3月15日15:55 正解数: 8 / 解答数: 9 (正答率: 88.9%) ギブアップ数: 0

互いに素な2つの整数 $s,t$ を用いて
$$
\log_{p}(n!)=\frac{t}{s}\\
p^{\frac{t}{s}}=n!\\
p^{t}=(n!)^{s}
$$
が成り立つ。左辺は,$p$ のみを素因数としてもつから,右辺も $p$ のみを素因数として持つ。
$n\geqq3$ のとき,$n!$ は2と3を素因数としてもつから,$n=1, 2$ のいずれかでなければならない。
$n=1$ のとき,$\log_{p}(n!)=\log_{p}1=0$
$n=2$ のとき,$p^{t}=2^{s}$ だから,$p=2$.
このとき,$\log_{p}(2!)=1$
以上より,$\log_{p}(n!)=0,1$


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$
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