3/3 23:49 問題を一部変更しました. 下図で、$ABCD$は一辺$6$の正方形,$ADEFGH$は正六角形, $IBC$は正三角形です.$AI$と$BF$の公点を$J$としたときの三角形$FJI$の面積を求めてください.
半角の正整数で答えてください.
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正方形$ABCD$の(辺を含まない)外部に点$P$をとったところ,以下が成り立ちました: $$ \angle{ABP}=\angle{DBP} $$ $$ PB=PC $$ このとき、$\angle{PDA}$の大きさを求めてください.
$\angle{PDA}$は度数法で,互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}^\circ$と表されるので,$a+b$を半角数字で解答してください.
以下の[条件]を満たす $3$ 桁の正の整数(つまり,$100$ 以上 $999$ 以下の正の整数)の組 $(A,B)$ すべてに対し,$A+B$ の値の総和を解答してください.
[条件] $A^2$ の下 $3$ 桁は $B$ であり,$B^2$ の下 $3$ 桁は $A$ である.
半角数字で解答してください.
$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし,辺 $CA$,辺 $CB$,円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします.また,円 $O_2$ と辺 $CA$ ,辺 $CB$,円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし,直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし,直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします.$ $TA=23,TB=35,TC=57$ のとき,(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
$x$についての重解を持たない実数係数の3次方程式を $x^3+ax^2+bx+c=0$とおき、この3解を $x_1,x_2,x_3 \ (x_1<x_2<x_3)$とします。
$b+1>a+c$かつ$x_1,x_2,x_3$がいずれも絶対値が5以下の整数のとき、 $(x_1,x_2,x_3)$の組の総数を求めてください。
0以上の整数値を半角数字で入力してください
【補助線主体の図形問題 #084】 2022年最後の図形問題です。今年ラストは補助線の威力を存分に味わえる問題を用意しました。存分に試行錯誤をお楽しみください。
2023年初頭は西暦を織り込んだ数学・パズルの問題をお送りします。1月1日夜から6~7日間お届けするつもりです(まだ作問中です)。どうぞお楽しみに! ※参考:今年年始にお届けした2022年問題 https://pororocca.com/problem/?tag=2022%E5%B9%B4%E5%95%8F%E9%A1%8C&sort_by=oldest
${\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。 (例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$ 入力を一意に定めるための処置です。 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$,外心を $O$ とし,$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします. $OH=3,AH:HD=7:2$ であり,$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき,${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
正整数 $N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v_2 (N)$ で表すことにします. (例 : $v_2(6) = 1, \ v_2(16) = 4$) このとき, $$\sum_{i = 1}^{1024} \sum_{j = 1}^{1024} \sum_{k = 1}^{1024} v_2 ( \textrm {gcd} (i, j, k))$$ の値を解答して下さい. ( $\textrm{gcd}(i,j,k)$ で $i,j,k$ の最大公約数を表しているとします.)
半角数字で解答して下さい.
図の条件の下で、青で示した角の大きさを求めてください。
解答を弧度法で表すと、$x=\dfrac{a}{b}\pi$ です。$a+b$を解答してください。 ただし、$a,b$ は互いに素な正整数で、$0\leq \dfrac{a}{b} \lt 1$ を満たします。
図の条件の下で、赤で示した線分の長さを求めてください。
半角数字で解答してください。
図の条件の下で,線分 $AB$ の長さを求めてください. ※orthocenter:垂心,circumcenter:外心
$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
正六角形内に、図のように円を配置しました。青で示した角の大きさを求めてください。
$\angle x=a°$ です。$a$ に当てはまる0以上180未満の数値を半角で回答してください。
図の条件の下で、青で示した線分の長さを求めてください。