三角形 ABC の辺 BC の中点を M とし,辺 AB,AC 上にそれぞれ点 D,E をとると,以下が成立した:
∠DME=90∘,AD=6,DB=2,AE=7,EC=3
このとき,辺 BC の長さの 2 乗を求めてください.
非負整数で解答してください.
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直線 AT に点 T で接する円 Γ を描き,A を通る直線 mと円 Γ の交点を A に近い方から順に B,C とします. また,∠CAT の二等分線と直線 BT,直線 CT の交点をそれぞれ D,E とします. BD=4,DE=8,EC=9 となったとき,△TBC の面積を S とすると,S2 は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表されるので,a+b の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
円 O1,円 O2 が点 P で外接しており,円 O1 上の点 Q における円 O1 の接線を引いたところ円 O2 と異なる 2 点で交わったので,その 2 交点を Q に近い方から順に A,B とします. AP=4,AB=6,BP=9 となったとき,PQ2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
任意の二次関数 f についてある θ (0≤θ≤2π)があって, xy座標平面上で y=f(x) を θ 反時計回りに回転させたものを考える. これがある関数 g(x) で y=g(x) と表せるときの θ としてありうるものの総和を S とするとき S を超えない最大の整数を回答して下さい.
整数で回答してください.
鋭角三角形 ABC の垂心を H,外心を O とし,A から BC に下ろした垂線の足を D とします. OH=3,AH:HD=7:2 であり,△ABC の外接円半径が 5 であるとき,OD2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
一辺の長さが 1 の立方体 1800 個から構成される,長さ 10,12,15 の辺からなる直方体があります. このとき,直方体の対角線のうちの 1 つについて,これが内部を通過する立方体の個数を求めてください.
ただし,立方体の内部とは,頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます.
求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので,これを解答してください.
ポロロッカ王国には10個のサッカーチームがあります.各チームにはレートと呼ばれる0以上10以下の整数が定まっており,レートの異なる2チームの試合では,必ずレートの大きい方が勝ちます.レートは秘密にされており,国民は知ることができません. あるとき,これら10個のチームで総当たり戦(全45試合)が行われ,引き分けはありませんでした.ポロロッカ王国民であるAさんが,この総当たり戦の結果から各チームのレートを推測しようとしたところ,あり得るパターンはN種類存在しました.Nとして考えられる値の合計を求めてください.
半角数字で入力してください.
三角形 ABC の辺 AB,AC 上に BC∥DE となるよう D,E をとり,さらに,D,F,G,E がこの順に並ぶように点 F,G を線分 DE 上にとる.さらに,辺 BC と直線 AF,AG との交点をそれぞれ H,I とする. 三角形 ADF,四角形 FGIH,AEG の面積がそれぞれ 3,5,8 であるとき,三角形 ABC の面積の最小値は正の整数 a,b および平方因子をもたない正の整数 c を用いて a+b√c と表せるので,a+b+c の値を解答してください.
自然数 x に対して, d(x) で x の正の約数の個数を表します. d(4n−1)+d(4n)=8 を満たす自然数 n について, 小さいほうから 7 個の総和を求めてください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
AB=13,BC=14,CA=15 を満たす三角形 ABC において、外心を O、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N、A から辺 BC に下ろした垂線の足を D とします。また、円 DMN と AD の交点を X、MN について X と対称な点を Y とします。このとき四角形 BCOY の面積を求めてください。
半角数字で入力してください。
5×5 のマス目の異なる 2 つのマスにナイトの駒を 1 つずつ置き,「ナイトの駒の動きに従って 2 つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ,2 つの駒が同じマスに止まりました. このとき,最初にナイトの駒を置いた 2 マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください.
以下の条件を全て満たす 20001 個の整数の組 (a0,a1,…,a20000) を 階段状な組 と定義します.
また,階段状な組 A=(a0,a1,…,a20000) に対して スコア S(A) を以下のように定めます.
階段状な組全てに対してスコア S(A) の総和を求め,その値が 2 で割り切れる最大の回数を求めてください.
答えを入力してください.
円に内接する 8 角形 ABCDEFGH が ∠A=121∘,∠B=122∘,∠C=123∘,∠D=124∘,∠E=125∘,∠F=126∘ を満たすとき,∠G の大きさを度数法で解答してください.