しましまのアンチ

問題文

大変だ！Golden Gokiburi が座標 $(0,0)$ に出たぞ！
Golden Gokiburi は 一回の移動で $(x,y)$ から $(x+1,y+1)(x,y+1)(x-1,y+1)(x+1,y)(x-1,y)(x,y-1)$ の6地点のうちいずれか一つに等確率で移動します。
$(3,7)$ にいるしましま君は不安で不安で仕方がありません。
$(0,0)$ にいる Golden Gokiburi が $900$ 回移動した後の $(3,7)$ と Golden Gokiburi との距離の $2$ 乗の期待値を求めてください。

解答形式

答えは非負整数になるので半角で解答してください。

問題文

実数上の二項演算である「見せ算」を次のように定義します（今回は見せ算の中でも初等的な性質のみ扱います。）
$$
x \spadesuit y= \begin{cases} y & (x<y) \\ 0 & (x= y)\\ x & (x> y) \end{cases}
$$
この見せ算では結合法則が成り立たたず、計算順序により眼(答え)が変わる事があります。例えば、$((4 \spadesuit 4) \spadesuit 3)=3$ ですが、$(4 \spadesuit (4 \spadesuit 3))=0$ です。
数列 $(a_1,a_2,...,a_n)$ であって、$a_1\spadesuit a_2\spadesuit ....\spadesuit a_n$ をどんな順序で計算しても眼(答え)が変わらない数列を 全不変眼数列 と呼びます。
例えば、$(0,4,0,1)$ はどのような順序で計算しても眼が $4$ になるので 全不変眼数列 ですが、$(1,2,2,1)$ は $(((1 \spadesuit 2) \spadesuit 2) \spadesuit 1)=1$、 $(1 \spadesuit ((2 \spadesuit 2) \spadesuit 1))=0$ であるため 全不変眼数列 ではありません。
長さが $24$ で、$0,1,2,3$ を要素としてそれぞれ $6$ つずつ持つような 全不変眼数列 はいくつありますか？

解答形式

半角で解答してください

問題文

これまでのあらすじ (読まなくてもこの問題を解くことが出来ます)
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/12
https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/tasks/15
勇者・しおしおの飛ばされた異世界では、将棋に草将と言う駒が追加されていました。
この駒は、以下に示された $6$ マスのいずれかに $1$ 手で移動できます。

この異世界での将棋は盤面がデカすぎてクソゲーだったので、しおしおは別の遊びを考えました。

白と黒の $2$ 色で塗られた $9×9$ の盤面について、良い盤面を以下のように定義します。

最下段の黒いマスから上手く選んで草将を置くと黒いマスの上だけを草将が移動して最上段の黒いマスのどれかに行く事が出来る。

以下に具体例を示します。
①の盤面では右から三列目に草将を置き矢印に沿って草将を移動させることで左から二列目の最上段の黒マスに到達できるので良い盤面です。
②の盤面も矢印のように草将を動かせるので同様に良い盤面です。
③の盤面ではどのようにしても最上段の黒いマスにたどり着けないので良い盤面ではありません。
④の盤面はそもそも最下段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。
⑤の盤面も最上段に黒いマスが無いので良い盤面ではありません。

全てのマスが白い盤面に対して、白マスをランダムに $1$ つ選んで黒マスに変更するという操作を良い盤面になるまで繰り返す時、最終的な盤面の黒マスの数の期待値を求めてください。ただし、答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\frac{a}{b}$ と表せるので$a+b$を解答してください。

解答形式

半角で正整数を解答してください

問題文

正整数 $n$ について $d(n)$ で $n$ の正の約数の個数を表すとき、
$$\sum^{100000}_{k=1}d(k)$$
の値を求めよ。

以下は体育会系数学部のある部員がこの問題に挑戦した記録である。

とりあえず1から順に約数の個数を数えていくぞ！
$d(1)=1$
$d(2)=2$
$d(3)=2$
$d(4)=3$
...
$d(100)=9$
これを $100000$ までやるのは大変だな...
もしかして主客転倒すれば
$$\sum^{100000}_{k=1} \left [\frac{100000}{k}\right ]$$
を計算すればいいのでは？やってみよう！
$\sum^{1}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =100000$

$\sum^{2}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =150000$

$\sum^{3}_{k=1} [\frac{100000}{k}] =183333$

...

$\sum^{100}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =518692$

この調子でどんどん計算していくぞ！

...

$\sum^{1000}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] =748058$

流石に疲れてきたな...

...

$\sum^{2024}_{k=1} [\frac{100000}{k} ] = 818025$

意識が朦朧としてきた...

その後部員は救急車で病院に搬送された。
部員の途中計算は間違っていないようだ。部員の意思を継いでこの問題の答えを出してほしい。

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

全ての 答えが9になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが31の文字列を解答するのがHard問題でしたが、さるのはこの問題の答えとしてありうる文字列が何通りあるのか気になりました。しかし、計算が面倒すぎて投げ出してしまいました。しかし、全ての 答えが 7 になる足し算の式 を部分文字列として含む長さが 22 の文字列なら何通りあるか計算できたようです。

全ての 答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 22 の文字列がいくつ存在するか計算してください。
なお、答えが 7 になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが 21 以下の文字列は存在しないことが証明できます。

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式

半角で非負整数を解答してください。

「このミニゲームはWiiリモコンを縦にもって遊びます」

ミニゲームのルール

まず3人側が、それぞれ好きな所にかくれ、1人側がさがします。5回のチャンスで全員見つけたら1人側の勝ちです。
参考: https://www.youtube.com/watch?v=9gEDX_oEmZE

問題

このゲームの隠れ場所は、$b_1,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $7$ 箇所ありますが、$b_1$ (真ん中の遊具) に隠れた場合は外から見えてしまいます。（見つけるのにチャレンジは1回使う必要がある）なので、通常は $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $6$ つからランダムに選びます。3人は相談できず独立に隠れ場所を選ぶので同じ場所に隠れる事もあります。この時、3人側の勝率は $91/216$ になります。
このゲームで遊んでいるしましま君は間違えて$b_1$に隠れてしまいました。他の2人は $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ の $6$ つから独立にランダムに選びました。1人側は最初に$b_1$を探し、その後はランダムに探します。この時の3人側の勝率を求めてください。
追記(11:06):1人側は十分賢いので、一度探した所はもう一度探しません。

解答形式

答えは既約分数で$a/b$と表せるので、$a+b$ を回答してください。

問題文

正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。

スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $5$ 回です。

問題文

パーフェクトさんすう教室 -Normal- (問題文)
さるのは答えが9になる足し算の式を自分で一つ思いついたようです。さるのの考えた足し算の式を当ててください。
ただし、さるのの考えた足し算の式が解答した文字列の(連続していなくても良い)部分文字列にあれば正解とします。

この問題は長い文字列を解答すれば正解することが出来ますが、あなたはこの問題にもっとスマートに解答したいです。
全ての 答えが9になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが31の文字列を解答してください。
なお、答えが9になる足し算の式 を(連続していなくても良い)部分文字列として含む長さが30以下の文字列は存在しないことが証明できます。

例えば、答えが5になる足し算になる式として「3+2」「1+1+1+1+1」「5」などが挙げられます。
「1+2×2」や「0+1+4」や「0.5+4.5」や「-1+6」や「+3+2」や「⑨」などは足し算の式ではない事に注意してください。

足し算の式の厳密な定義 (これは全難易度で共通です)
足し算の式の各文字は1,2,3,4,5,6,7,8,9,+のいずれかで、先頭と末尾の文字は数字で、+どうしは連続しない。
その足し算の式を通常の数式として計算した結果がその足し算の式の答えになる。

解答形式 (重要)

ジャッジの都合上、特殊な解答形式になっています。
答えを改行区切りで16回連続して解答してください。「」は付けないでください。(4回 全体をコピー＆ペーストすると16個になります)
必ず同じ文字列を16連続で解答してください。
解答の1行目に謎の空間が出来る事がありますが、謎の空間があっても正解判定になる事が確認されています。もし不安だったらsimasimaのXのＤＭに送るか質問をしてください。
例えば「129+1341398+89006」と解答したい場合は次のように解答してください。
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006
129+1341398+89006

問題文

$40000000001$ は二つの異なる素数の積で表されます。その二つの素数のうち小さい方を解答してください。

解答形式

非負整数で解答して下さい。

提出制限

この問題の提出制限は10回です。

問題文

$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち，どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり，どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください．
ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします．また，$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$$\sum^{100}_{k=1}\left\lfloor \sqrt[3]{1001001-k^3}\right \rfloor$$
を $2$ で割った余りはいくつですか？

解答形式

非負整数で解答してください。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。

問題文

左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
Aliceが先手でそれ以降は交互に手番を行います。
各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。

例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。

Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...

あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。

解答形式

あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。

提出制限

この問題の提出制限は $1$ 回です。