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縦4列、横4行の16マスのうち、いくつかに色を塗ります。塗られるマスの数が列ごとに相異なり、行ごとに相異なる(但し、列と行で塗られる数が一致しても良い)、場合、塗り方は何通りありますか？
半角数字で入力してください。
三角形ABCとDEFにおいて AB=DF,BC=DE,∠B=63°,∠C=30°,∠D＝171° であるとき,∠Eの角度を求めてください。
非負整数を半角で入力してください。
三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10 AB＝9 NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.
半角で解答してください.
三角形 $ABC$ について，辺 $BC,CA,AB$ の中点をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC, DEF$ の垂心をそれぞれ $H_1, H_2$ とすると，以下が成立しました．$$H_1H_2=3\sqrt{3},\quad DH_2=1,\quad \angle{H_1H_2D}=150^{\circ}$$このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗の値を求めてください．
一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。 正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、$AF^2$ の値を解答してください。
$p^2-pq-q^2+p+q=0$ を満たす素数の組 $(p,q)$ すべてについて，$p+q$ の総和を求めてください．
三角形$ABC$の内心を$I$，直線$AI$と$BC$の交点を$D$とすると$AI=CI=CD=6 $であった. このとき$AC$の長さは正の整数$a,b $を用いて$ \sqrt{a} +b$と表せるので, $a+b$を解答してください.
答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．
$1$ 以上 $n$ 以下の自然数であって，$n$ と互いに素なものの個数を $\phi(n)$ とします． $$0\equiv \phi(n)\equiv\phi(n+1)\pmod{26}$$ となるような正の整数のうち，最小のものを求めて下さい．
解答の数値を小数点を除いて10進数で表した時，5桁以上になるなら5桁，5桁未満ならその桁で半角数字で解答してください．
例 $66$→66 $0.75$→75 $\pi$→31415 $(\pi=\mathbf{3.1415}92…)$ $\sqrt{2}$→14142 $(\sqrt{2}=\mathbf{1.4142}1356...)$ $2^{100}$→12676 $(2^{100}=\mathbf{12676}50600228229401496703205376)$
$$ \sum _{k=0}^{2024} \dfrac{{}_{2024}\mathrm{C}_{k}}{2k+1}(-1)^{k}$$ は互いに素な二つの整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せます． $p$ は $2$ で最大何回割り切れますか？
非負整数を半角数字で答えてください
方程式x⁶−6x⁵+15x⁴−47x³+15x²−6x+1=0の実数解を求めて下さい。
正の整数a.b.cを用いて$\frac{b±√c}{a}$の形で表せられるので、a+b+cの値を半角で解答して下さい。
三角形ABCとその辺AB上にある点Dと辺CA上にある点Eが次の二つの条件を満たしている．（ただし、点D,Eは点Aとは一致しない） （Ⅰ）AB=13,BC=14,CA=15 （Ⅱ）4点B,C,E,Dは共円 このとき、「点Aを通りDEに垂直な直線」と、線分BCの交点をFとする． BFの長さを求めよ．
例）この答えは、互いに素な自然数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と書けるので、$a$+$b$の値を答えてください．
漸化式 $$a_{n+2}=(n+3)a_{n+1}-na_n，a_1=0，a_2=2$$ があります．$a_{n}$ が $n$ で割り切れない $50$ 以下の $n$ の個数を求めてください．ただし，$n=1$ を含みます．
