文化祭算数問題 3

問題文

四角形 $ABCD$ について，角 $DBC=20°$，角 $BDC=90°$，角 $ADB=40°$，$AD:BC=1:2$ が成り立ちました．このとき角 $ABD$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

角 $C$ が直角となるような三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に点 $D$ をとると，角 $DAC:$ 角 $BAD=1:2$，$AD$ の長さは $3 \mathrm{cm}$，$AB$ の長さは $5 \mathrm{cm}$ となりました．このとき，$BD:DC$ を求めてください．ただし，求める比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せるので $a+b$ の値を解答して下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について線分 $AC$ 上に点 $P$ を取り，線分 $PC$ の垂直二等分線と線分
$BC$ が交わったのでその点を $D$ とする．線分 $AB$ 上の点 $E$ が $ED\parallel AC$ を満たしている．三角形 $PED$ の外接円と線分 $BC$ が $D$ でない点 $F$ で交わっており，$$FA=FC=7,　BD=4,　PD=5$$ が成り立った．このとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正の整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

問題文

$\angle ABC $ と $\angle BCA$ が鋭角であるような $\triangle ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．また，$M$ から辺 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P, Q$ とすると、線分 $AM, BQ, CP$ が一点で交わります．

$$ AB = 12, \ \ BC= 20 $$

のとき，$\triangle ABC$ の面積の二乗としてありうる値の総和を解答してください。

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

正方形 $ABCD$ の辺 $CD$ 上に点 $E$ をとり，直線 $AE$ と $BC$ の交点を $F$，$AE$ と $BD$ の交点を $G$ とすると，$AG:EF=1:2$ が成立しました．このとき，角 $AFB$ は何度ですか？ただし，解答すべき値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

角 $A=90°$ ，角 $B=90°$ ，角 $C=120°$ なる四角形 $ABCD$ があります．辺 $AB$ 上に点 $E$，辺 $BC$ 上に点 $F$ をとると，$BF=9,FC=2,CD=8$ ，角 $EFD=120°$ が成り立ちました．$AE:EB$ を求めてください．ただし，求める比は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

角 $BAC=$ 角 $BCD=60°$ なる $AD\parallel BC$ の台形 $ABCD$ について，以下が成立しました．
$$ AC-AB=7 \mathrm{cm},\quad BC-CD=3 \mathrm{cm}$$
このとき $BC$ の長さは何 $\mathrm{cm}$ ですか？ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

半径$3$の円に内接する六角形$ABCDEF$ は以下の2つの条件をみたします:

四角形$ABDE, BCEF,CDFA$は長方形
周長が$15$

このとき,三角形$ACE$の内接円の$\textbf{半径}$を求めてください。

解答形式

答は非負整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので$a+b$の値を半角数字で答えてください。

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について，$C$ を通り $B$ で直線 $AB$ に接する円 $\gamma$ と線分 $AC$ の $C$ でない交点を $D$，$D$ を通り $A$ で直線 $AB$ に接する円 $\omega$ と $\gamma$ の $D$ でない交点を $E$ とします．いま，三角形 $ABC$ の外心を $O$ とすると，$$OD=OE,　DE=2,　BC=11$$ が成り立ちました．線分 $AC$ の長さの二乗を求めてください．

問題文

$AB=AC$ なる三角形 $ABC$ について，線分 $AB$ 上に点 $D$ をとり，点 $A$ から円 $DBC$ に引いた接線と円 $DBC$ の接点のうち，直線 $DC$ について点 $B$ 側にあるものを $T$ とします．円 $ATC$ と線分 $AB, BC$ の交点をそれぞれ $E(\neq A), P(\neq C)$ とし，直線 $DT$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とすると，直線 $AB$ は $\angle PAQ$ を二等分しました．$AD=7, DC=13$ のとき，線分 $AC$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

図の条件の下で、線分 $OO'$ の長さを求めてください。

解答形式

$OO'^2$ は正整数になるので、その値を半角数字で解答してください。

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．