この問題はコンテスト「KP杯2nd 作問ミスがあったため問題を一部変えました」の問題です。
解説
$\frac{A}{B}=n $ より $A$は$B$の$n$倍である。
$B$を$n$回足し合わせたとき、各位において繰り上がりが生じると、1回繰り上がりが生じるたびに$k(X)$が9ずつ減少する。よって一回でも繰り上がりが生じてしまうと、$\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}$が不成立。
よって$n=2$のとき、$B$に使える数字は$0,1,2,3,4$
$n=3$のとき、$0,1,2,3$
$n=4$のとき、$0,1,2$
$n=5,6,7,8,9$のとき、$0,1$
$A$の取りうる値は(重複を無視すると)
$4×5^3+3×4^3+2×3^3+5×1×2^3=786$
ここで、$n=k$のとき、$B$に使った数字を$p$と置く。このとき$k×p$の値が$k,p$の組み合わせ$(k,p)$が異なるもの同士で等しくなっていしまうと、$B$の値は異なるが$A$の値が等しくなってしまう。
そのような$(k,p)$は、
$(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(7,0),(8,0),(9,0)$のとき、$k×p=0$
$(2,2),(4,1)$のとき、$k×p=4$
$(2,3),(3,2),(6,1)$のとき、$k×p=6$
$(2,4),(4,2),(8,1)$のとき、$k×p=8$
$(3,3),(9,1)$のとき、$k×p=9$
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