幾何

問題文

$$ \sum _{k=0}^{2024} \dfrac{{}_{2024}\mathrm{C}_{k}}{2k+1}(-1)^{k}$$
は互いに素な二つの整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せます． $p$ は $2$ で最大何回割り切れますか？

解答形式

非負整数を半角数字で答えてください

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$a×b×c×d$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$x$に関する3次方程式$x^3+ax+b=0$($a,b$は実数)の3解の絶対値がすべて1以下となる$a,b$の必要十分条件が表す領域を$ab$平面に図示し、その面積を求めよ。

解答形式

面積の値のみを解答してください。答えは分数になるので/を用いて入力してください。
例：$\displaystyle\frac{5}{7}$→5/7

問題文

$$
\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^{2025}-\int_{0}^{1} x^{2025}dx \right\}
$$を求めよ。

解答形式

答えは互いに素な自然数$p,q$を用いて$\displaystyle\frac{p}{q}$とあらわされるので$p+q$を半角で1行目に記入してください。

問題文

座標平面上の $|x|≦1$ かつ $|y|≦1$ を満たす領域を $D$ とする。また傾き $1$ の直線を $l$, $y=x^2$ のグラフを平行移動したグラフ $C$ の頂点を $P$ とする。$l$ を $D$ と共有点を持つように, $C$ を $P$ が $D$ 内に存在するように無作為にとるとき, $l$ と $C$ が交わる確率を求めよ。

解答形式

少数第4位を四捨五入して, 少数第3位までを,半角数字で解答してください。

問題文

方程式x⁶−6x⁵+15x⁴−47x³+15x²−6x+1=0の実数解を求めて下さい。

解答形式

正の整数a.b.cを用いて$\frac{b±√c}{a}$の形で表せられるので、a+b+cの値を半角で解答して下さい。

問題文

$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり，その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります．
また，線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします．
$a,b$ の交点を $E$，$b,c$ の交点を $F$，$c,d$ の交点を $G$，$d,a$ の交点を $H$ とすると，$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり，四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました．
　そして，以下が成立しました：
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
　このとき，$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

問題文

縦4列、横4行の16マスのうち、いくつかに色を塗ります。塗られるマスの数が列ごとに相異なり、行ごとに相異なる(但し、列と行で塗られる数が一致しても良い)、場合、塗り方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

θの方程式　sin^2θ-cosθ+a=0 (0≦θ<2π)の解が偶数個存在する場合における定数aのとりうる値の範囲を求めよ。

解答形式

答えのみ

$$
方程式3^{2x^2+6x+5}=(\frac{1}{\sqrt3})^{2i^2}の大きい方の解を答えて下さい。
$$