解の配置問題

問題文

$4$ 点 $\mathrm{A,B,C,D}$ が $\mathrm{AB=BC=CD}=1,\mathrm{DA}=2$ を満たし、さらに線分 $\mathrm{BC}$ と線分 $\mathrm{DA}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わっている。線分 $\mathrm{AP}$ の長さが最大となるとき、

$$
\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{\fbox{アイ}-\sqrt{\fbox{ウエオ}\ }+\sqrt{\fbox{カキクケ}+\fbox{コサ} \sqrt{\fbox{シスセ}\ }\ }\ }}{\fbox{ソ}}
$$

である。ただし、$\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

ヒント

必要であれば以下の事実を用いてよい。

・実数 $a,b,c$（ただし $a\neq-64$ ）について、$\displaystyle p=\frac{b+c-a^2}{a+64},q=64p+a^2-b$ とおくと、$x$ についての恒等式

$$
1024x^4+64ax^3+bx^2+2cx+p^2-q=(32x^2+ax+p)^2-q(x-1)^2
$$

が成り立つ（これは、右辺を展開して係数比較することで簡単に確かめられる）。

解答形式

ア〜ソには、0から9までの数字または「-」(マイナス)が入る。
文字列「アイウエオカキクケコサシスセソ」を半角で1行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。

問題文

a≠1である
M=log₂aのときlogₐM>1となるaの範囲を求めよ

解答形式

例）a>0

問題文

図のように3つの正方形が配置されています。3つの線分の長さが図のように与えられたとき、緑の六角形の面積を求めてください。

解答形式

面積は、
$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア～\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください（「」は不要）。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。

例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

図のように正五角形と正三角形が配置されています。緑の$x$で示した角度を求めてください。
なお、赤で示した2つの線分は長さが等しく、青で示した角は直角です。

解答形式

度数法で、単位を付けずに0以上180未満の数を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #006】
　投稿日である今日3月14日は、円周率$\pi$の近似値 $3.14$ になぞらえて「円周率の日」と定められています。ということで「円周率の日」記念に円多めの問題を用意しました。
　補助線が活躍するのはいつも通りです。ちょっとした知識があると暗算で処理可能ですが、そうでなくとも大した計算量ではありません。どうぞ円まみれのお時間を楽しんでいただければ幸いです。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #004】
　今日の図形問題は正方形をたっぷりと並べてみました。座標幾何や複素数平面に落とし込みたい誘惑を断ち切って補助線解法を堪能していただけたら本望です。うまく引ければ余裕で暗算可能ですよ！

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。

問題文

$n=0,1,\cdots$ に対し，$I_n$を
$$
I_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k}k!(2n+2k-1)!!}
$$で定める。ただし $(-1)!!=1$ とする。この級数は収束することが知られている（例えば，ダランベールの判定法を適用すればよい）。特に
$$
I_0+I_1=\fbox{ア}
$$である。また，$\{I_n\}$ は漸化式
$$
I_{n-1}-I_{n+1}=(\,\fbox{イ}\,n-\fbox{ウ}\,)I_n\quad(n=1,2,\cdots)
$$を満たし
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{I_{n+1}}{I_n}=\fbox{エ}
$$が成り立つ。これらの結果を用い，漸化式を変形すると
$$
1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{\ddots}}}}=\frac{\fbox{オ}^{\fbox{カ}}+\fbox{キ}}{\fbox{ク}^{\fbox{ケ}}-\fbox{コ}}
$$が得られる。ただし $\fbox{オ}\neq\fbox{キ}$ とする。

注意

自然数 $n\geq 1$ に対し，$n!!$ は $1$ 個とばしの階乗を表す。例えば，$n$ が奇数のとき
$$
n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1
$$である。

解答形式

空欄 $\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ には，半角数字 0 - 9 ，記号 - ，円周率 π ，自然対数の底 e のいずれかが当てはまります。$\fbox{ア}$ 〜 $\fbox{コ}$ に当てはまるものを改行区切りで入力してください。

問題文

正方形の中に図のように線を引きました。赤、青の線分の長さがそれぞれ1,7のとき、緑の線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。

※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。

解答形式

解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。

問題文

図のように配置された図形で、半円の半径が$5$、赤、青、緑の線分の長さがそれぞれ$3,X,Y$のとき、$X^2+Y^2$の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #012】
　日本各地に緊急事態宣言やら蔓延防止等重点措置やら発出されてピリピリしている昨今ではありますが、ここはひとつ心穏やかに図形問題と向き合うのはいかがでしょうか。今回も補助線次第で暗算処理可能なように調整してあります。ひらめきの快感をぜひ味わってください。

解答形式

${}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$ → $\color{blue}{14.14}$
　入力を一意に定めるための処置です。$\pi=3.14$とは限りませんのでご注意ください。関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alphaなどのご利用をお勧めします。