A

問題文

$7216$ のように，

• $11$ の倍数である．
• 上 $1$ 桁を無視してできる数は立方数である．（すなわち，ある整数 $m$ を用いて $m^3$ と表せる）

の $2$ 条件を満たす $4$ 桁の正整数を 祭数 といいます．最大の祭数を解答してください．ただし，上 $2$ 桁目等が $0$ である場合の上 $1$ 桁を無視してできる数とは上 $1$ 桁の数とそれに続く $0$ を無視した数とします．例えば $1011$ の上 $1$ 桁を無視してできる数は $11$ です．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

実数 $x$ に対し
$$f(x)=4x^2+4x+5$$
と定めるとき，$f(f(x))$ の最小値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の正整数とします．正 $n$ 角形から $3$ 頂点選んでそれらを $A,B,C$ としたとき，$\angle ABC =44.5^\circ$ となりました．$n$ として考えられる最小の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

等式
$$3kp-35p=q^2+2^p$$を満たすような素数 $p,q$ と正整数 $k$ の組 $(p,q,k)$ を考えます．$p+q+k$ として考えられる値のうち小さい方から $5$ つの総和を解答してください．　

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします．
$$
x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002}
$$
の最大値は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます．$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB＜BC$なる鋭角三角形$ABC$があり，$B$から$AC$におろした垂線の足を$D$とし，線分$BC$の中点を$M$とする．三角形$ABC$の外接円上に点$E,F$をとると$4$点$EDMF$はこの順に同一直線上に存在し，$DE＝6，MF＝8，CD＝15$であったので線分$AB$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

3種類の文字 $A,B,C$ を用いて以下の条件を満たした長さが5の文字列は全部でいくつあるか．

• $A$ の右隣にある文字は $B$ ではない．

• $B$ の右隣にある文字は $C$ ではない．

解答形式

非負整数で解答して下さい．

問題文

垂心を $H$ とする鋭角三角形 $ABC$ において，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると，
$$BH=2,CH=7,DH=1$$
が成り立ちました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の $2$ 乗を求めてください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました．
分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び，下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか．

• 『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』は隣り合ってはならない．（こよクロ（『博衣こより』と『沙花叉クロヱ』のユニット）は解散しているため）
• 『ラプラス・ダークネス』の左右のどちらか隣に『鷹嶺ルイ』がいないといけない（『ラプラス・ダークネス』は『鷹嶺ルイ』が近くにいないと不安になってしまうため．しかし，『鷹嶺ルイ』の隣に『ラプラス・ダークネス』がいなくても良い．）

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

$∠A$が鋭角であり$AB＝AD，BC＝CD＝7，∠ABC＝∠CDA＝90°$を満たす四角形$ABCD$がある．線分$AB$，線分$AD$の中点をそれぞれ$M,N$とし，直線$MN$と直線$BC$の交点を$P$とすると$AP＝24$であったので$AC$の長さの$2$乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$BC=123, \angle B=90^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ について，内心を $I$，$\angle A$ 内の傍心を $J$ とすると，四角形 $ABIC$ は三角形 $BCJ$ よりも面積が $246$ 大きくなりました．$AB$ の長さを求めてください．

問題文

実数 $a,b$ が $a+b=10$ を満たすとき，$a^3+b^3$ の最小値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．