第1回琥珀杯 大問1

Kohaku 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年2月12日0:00 正解数: 12 / 解答数: 13 (正答率: 92.3%) ギブアップ数: 0
この問題はコンテスト「第1回琥珀杯」の問題です。

全 13 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年2月28日15:41 第1回琥珀杯 大問1 mochimochi
正解
2025年2月27日15:48 第1回琥珀杯 大問1 iwashi
正解
2025年2月24日9:04 第1回琥珀杯 大問1 GaLLium
正解
2025年2月22日20:42 第1回琥珀杯 大問1 sgmfromjapan
正解
2025年2月22日18:52 第1回琥珀杯 大問1 omatsu24
正解
2025年2月14日21:30 第1回琥珀杯 大問1 Weskdohn
正解
2025年2月12日13:56 第1回琥珀杯 大問1 masorata
正解
2025年2月12日13:16 第1回琥珀杯 大問1 ISP
正解
2025年2月12日11:07 第1回琥珀杯 大問1 Nyarutann
正解
2025年2月12日10:53 第1回琥珀杯 大問1 tima_C
正解
2025年2月12日9:30 第1回琥珀杯 大問1 Furina
正解
2025年2月12日3:03 第1回琥珀杯 大問1 natsuneko
正解
2025年2月12日0:01 第1回琥珀杯 大問1 Nyarutann
不正解

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第1回琥珀杯 大問2

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問題文

正三角形$ABC$の内部の1点$P$は、$AP=5,BP=4,CP=3$を満たす。この正三角形の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子をもたない正整数$c$、及び正整数$d$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}+d$と表せるので、$a+b+c+d$を解答してください。

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$AB=DC=2,AD=3,AC=\sqrt{17}$を満たす等脚台形$ABCD$の面積を求めよ。

解答形式

互いに素な正整数$a,b$と平方因子を持たない正整数$c$を用いて$\frac{b\sqrt{c}}{a}$と表せるので、$abc$を解答してください。

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7

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

第1回琥珀杯 大問5

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問題文

円$O_1,O_2,O_3$は点$O$を中心とする同心円で、この順に半径が小さい。円$O_1,O_2,O_3$の周上に、それぞれ点$A,B,C$をとるとき、$△ABC$の内部または周上に点$O$が含まれる確率を求めよ。

解答形式

0または1の場合はそのまま答え、互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{b}{a}$と表せる場合は$ab$を解答してください。

D

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20

問題文

アルファベット $9$ 文字 $A, I, K, M, N, O, R, S, U$ には相異なる $1$ 以上 $9$ 以下の正整数が入ります.

を満たすとき,$A, I, K, M, N, O, R, S, U$ は一意に定まるので,これを順に解答してください.

解答形式

カンマやスペースなどを入れず,半角数字のみで解答してください.
例えば,$A=1, I=2, \ldots, U=9$ のとき,$123456789$ のように解答してください.

連続する整数の積

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$n$を正の整数とします。連続する$10$個の整数の積$n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+9)$が$2025^3$で割り切れるような$n$としてあり得る最小のものを求めてください。

解答形式

$n$の値を半角で入力してください。

A

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問題文

$N, E, K, O$ には,$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります.
$$
N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}
$$を満たすとき,$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値のを求めてください.

解答形式

答えは正整数になるので,半角数字で解答してください。

整数

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$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

C. 地雷

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4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
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半角数字で入力してください。

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半角数字で入力してください。

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以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください.$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

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13906以下の非負整数で解答してください

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$
f(x)= 2^{2^{x}x}-1
$
とする。このとき、
$
f(1)+f(2)+f(3)+・・・+f(2024)=A
$
とすると、Aの一の位の数字は何になるか。