JMO2025yo-6?

問題文

1から100までの整数の中から異なる3つの整数を選び、$a<b<c$ とします。これらの3つの整数が等差数列をなすような選び方は何通りありますか？

解答形式

半角英数字で解答してください。

問題文

$10^{12}$ 以下の正整数であって，$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか？

解答形式

非負整数で入力してください。

問題文

この四角に切れの解はいくつ存在しますか？
http://pzv.jp/p.html?shikaku/21/21/zzzi.z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z.9z..z..z..z..z..i

解答形式

非負整数で入力してください

数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

繧ｨ繝ｩ繝ｼ

マ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ標蜻ｪ謔ｲ魑ｴ上蜻ｪ格諤ｨ蠢ｵに蜻ｪ店蟄､迢ｬカ蜻ｪェ蜻ｪチ諤ｨ蠢ｵン店蜻ｪす。
諤ｨ蠢ｵの蜻ｪ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ諤ｨ蠢ｵに諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ、最蜻ｪ近諤ｨ蠢ｵのマ諤ｨ蠢ｵッ諤ｨ蠢ｵカ謔ｲ魑ｴと蜻ｪ蜻ｪ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪン蟄､迢ｬは諤ｨ蠢ｵ蜻ｪど $1001$ に蟄､迢ｬま蜻ｪ。
$x,y$ 蜻ｪ標諤ｨ蠢ｵち諤ｨ蠢ｵ $1$ 蜻ｪ上 $n$ 以蜻ｪで謔ｲ魑ｴよ諤ｨ蠢ｵマ蜻ｪ蜻ｪッ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪフ諤ｨ蠢ｵ店蜻ｪ数諤ｨ蠢ｵ大値蜻ｪ $f(n)$ 諤ｨ蠢ｵる蟄､迢ｬ全蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ数 $n$ に蜻ｪ謔ｲ魑ｴ $cf(n)\geq n^2$ が謔ｲ魑ｴ立謔ｲ魑ｴ蜻ｪ謔ｲ魑ｴ負整蜻ｪ $c$ 蜻ｪ最小蜻ｪを蟄､迢ｬて諤ｨ蠢ｵさ蜻ｪ。

逡ｰ蟶ｸ逋ｺ迴ｾ

非謔ｲ魑ｴ数蜻ｪ解諤ｨ蠢ｵて蜻ｪ謔ｲ魑ｴい。

問題文

$(a_1,a_2,...,a_{100})$ は $(1,2,...,100)$ の順列です。数列 $a$ のコストを次のように定義します。
$$
\sum^{50}_{x=1}\sum^{100}_{y=31}|a_x-a_y|
$$
コストとしてあり得る最小値はいくつですか？

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

じーえむ君は $n×n$ の盤面のマス目に $2\times 2$ の正方形タイルを重ならないように出来るだけ多く入れたいです。
ただし、盤面はトーラスになっています。上から $x$ 行目 左から $y$ 列目のマスを $(x,y)$ と表すとき、左上のマスが $(x,y)$ であるようなタイルは $(x,y),(x+1( mod \ n),y),(x,y+1( mod \ n)),(x+1( mod \ n),y+1( mod \ n))$ の $4$ マスを占有します。
じーえむ君が入れることが出来るタイルの数の最大値を $N$ とする時、じーえむ君がタイルを $N$ 個入れる方法は何通りありますか？
ただし、回転や平行移動などで一致する入れ方は区別して数えてください。

上記の問題は $n$ が $4$ で割って $1$ 余る数である時上手く解くことが出来ます。
$n= 333,1001,7777$ のそれぞれについて上記の問題を解いてその答えの総和を解答してください。

解答形式

非負整数で解答してください。

問題文

素数 $p$ を用いて表される整数 $p-4, p^2-6, p^3-26$ が全て素数となるような $p$ の総和を求めよ。

解答形式

算用数字で解答してください。

問題文

四角形$ABCD$があります.線分$AC$上に点$P$を,線分$BP$上に点$Q$を,線分$DP$上に点$R$を取ります.直線$AQ$と線分$BC$,直線$CQ$と線分$AB$,直線$AR$と線分$CD$,直線$CR$と線分$AD$の交点をそれぞれ$S,T,U,V$とします.
$$\triangle BSA=(四角形BSPT)+8=\triangle BCT+12
\\\\\triangle AUD =30,\triangle CDV=25$$
が成り立つとき四角形$DVPU$の面積を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な自然数$p,q$を使って$\cfrac{q}{p}$と表されるので$p+q$の値を答えてください.

(変更 2024/6/27 ヒントを変えました.解説を未正解者も見れるように変更しました.)

問題文

$\triangle{ABC}$ について直線 $BC$ 上に $W,B,C,E$ の順と並ぶように点 $W,E$ を取ると以下のことが成立しました．

• $AC=35, AW=45,BW=36$
• $BC:CE=1:8$
• $\triangle AWC$ は鈍角三角形であり，その面積は$72\sqrt{111}$

このとき $\triangle{BAE}$ の外心を $O$ とすると，互い素な正整数 $a,b$ を用いて，
$$\triangle{BAE}:\triangle{WAO}=a:b$$
と面積比が表せるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数で入力してください．

問題文

周長が $10^5$ であり全ての辺の長さが整数であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

厳密な問題文
$a+b+c=10^5$ が成り立ち尚且つ各辺の長さが $a,b,c$ である三角形が存在するような順序付いた正整数の組 $(a,b,c)$ 全てについて各辺の長さが $a,b,c$ であるような三角形の内接円の面積の総和を求めてください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\frac{a}{b}\pi$ と表せるので、$a+b$ の値を解答してください。