次を満たすような正整数の組 (x,y,z) をすべて求めてください. 2x+9y+2025=2009z−65−28
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「L∞空間の双対」
区間[0,1]上のルベーグ可測かつ本質的に有界な実数値関数の空間L∞([0,1])において、その双対空間(L∞)∗がL1([0,1])と同型でないことを示せ
例)証明してください。
AB=1の正十二角形ABCDEFGHIJKLがある。KDとCJ、AFとDK、AFとDI、DIとEJ、AHとEJ、AHとCJの交点を、それぞれM,N,O,P,Q,Rとする。六角形MNOPQRの面積を求めよ。
互いに素な正整数a,b,c及び平方因子をもたない正整数dを用いて、b−c√daと表せます。a+b+c+dを解答してください。
円C1:x2+(y−√6)2=2及び円C1とx軸について対称な円C2をとる。さらに、2点(0,√6−√2),(0,−√6+√2)を通りx軸に垂直で、原点を中心とする円C3をとり、円C2の中心を通りxy平面に垂直な直線をlとする。円C3を直線l周りに360°回転させてできる立体の体積を求めよ。
正整数a,c,eと平方因子をもたない正整数b,dを用いて(a√b−c√d)πeと表せるので、a+b+c+d+eを解答してください。
98x^2+190x-312を因数分解せよ。
交わらない2円O1,O2は直線mに同じ側で接しており、その反対側に交わらない2円O3,O4が直線mに接している。円Ox(x=1,2,3,4)の半径をx、直線mとの接点をPxとすると、点P1,P4,P2,P3がこの順に並んだ。P1P4=P2P3=5,P2P4=3のとき、四角形O1O2O3O4の面積を求めよ。
0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。 数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。 ただし、a=0の場合も認めます。 (似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)
互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため p+qを解答してください。
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)xを定義域とする関数f(x)を、xの循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。f(533)=15,f(43333)=12といった具合である。 正整数nに対して、n<m<20252025なる正整数mであって、nの値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 f(nm)=(m−2)n 必要ならば、0.30102<log102<0.30103, 0.47712<log103<0.47713 を用いてよい。
0時0分〜23時59分とする時刻A時B分について、60A+B,100A+Bが共に平方数となるとき、A×Bの総和を求めよ。
半角数字で解答して下さい。
実数から実数への関数fであって任意の実数x、yについてf(x)+f(f(y)+x)=f(f(x))+4y が成り立つようなものを全て求めよ。
簡単でいいので証明もお願いします。
p,q,rを互いに異なる3つの素数とする。
整数 K=(qr)p−1+(rp)q−1+(pq)rが、 K≡p+q−1 (modr) という条件を満たすとき、和 p+q+r の最小値を求めよ。
半角左詰め
四角形ABCD、四角形GHCFはそれぞれ正方形で、1辺の長さはそれぞれ10cm、4cmです。また、DCとFC、BCとHCはぴったり重なっているとする。また、四角形IBKJは長方形で、IJは2cm、IBは4cmとし、ABとIB、BCとBKはぴったり重なっているとする。更に、AJとDGの延長とBCとの交点をEとし、Gを通りΔADEの面積を2等分する線とADとの交点をP、Jを通りΔADEの面積2等分する線と、ADとの交点をRとする。さらにPGの延長とBCとの交点をQ、RJとABとの交点をSとする。PGとRJの交点をOとする。四角形OJEQの面積を求めよ。
分数は/で表してください。 例)2分の9は 9/2 で表す。
整数 x と素数 p が、以下の連立合同式を満たす。
x≡p(mod9797) x≡11p+69(mod9991)
この条件を満たす最小の素数 p を求めよ。