工夫すると簡単になる問題

問題文

ある数AとBがある。
(A＜B)のとき次の式は「成り立つ」か成り立たないか。
成り立たない場合は正しい等号､不等号を書け。

$$
\frac{B}{A}-AB<(\frac{A}{B})^{2}
$$

問題

式1の時、式2の解を求めよ。
ただし、数の小さい順に答え､
答えが２つ以上ある場合､「,」を用いること。
例　2分の1と1の時は､1/2,1

式1

$$
12a^{2}-a=1
$$

式2

$$
16a^{2}-8a-9a^{2}-6a
$$

問題文

$N, E, K, O$ には，$1$ 以上 $9$ 以下の相異なる正整数が入ります．
$$
N\times{E}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}=K\times{O}\times{N}\times{E}\times{K}\times{O}
$$を満たすとき，$N+E+K+O$ としてあり得る値の最大値と最小値の積を求めてください．

解答形式

答えは正整数になるので，半角数字で解答してください。

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください．$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

解答形式

13906以下の非負整数で解答してください

問題文

にゃんこ大戦争には，$10$ 体の基本キャラが存在します．そのキャラを図鑑と同じ順番で，$1, 2, \ldots , 10$ と番号を付けます．今、$1$ 番のキャラ(ネコ)が $512$ 体一列に並んでおり，以下の操作を $511$ 回行います．

• 番号がともに $n$ である隣り合う $2$ 体を選び，その $2$ 体を取り除いて番号が $n+1$ であるキャラを同じところに $1$ 体入れる．

最終的に，番号が $10$ であるキャラ(ネコ超人)が残るような、操作の行い方(順番)は $N$ 通りあります．$N$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．

解答形式

答えは正の整数値になるので、それを半角数字で解答してください。

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力

問題

次の式を計算しなさい。

$$
\frac{(28^{2}+28-27^{2}+27)^{2}}{5!^{2}}-(\frac{11}{12})^{2}
$$

問題文

以下の式を満たす任意の正整数の組$(x,y)$について、$xy$としてありうる値の総和を求めて下さい。
$$
x^{y}=y^{x-y}
$$

解答形式

半角数字で解答して下さい。

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

$f(x)$を$x$の小数部分とする。
以下の値を求めよ。
$$\int^{25}_0f(\sqrt{x})dx$$