幾何

問題文

単位立方体の内部からランダムに点を $2$ つ選んだときの平均距離を答えてください.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,b,c,d,e$ と互いに素な正の整数 $f,g$ と平方因子を持たない正の整数 $h,i,j,k$ と正の整数 $l,m,n$ を用いて
$$\frac{a+b\sqrt{h}-c\sqrt{i}-d\pi}{e}+\frac{\ln(l+\sqrt j)}{m}+\frac{f\ln(n+\sqrt k)}{g}$$
と表されるので, $a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n$ を解答してください.
ただし， $\ln x$ は $x$ の自然対数を表します．

注意

解説は用意していません

問題文

$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4　CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。

解答形式

半角で解答してください。

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10　AB＝9　NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

問題文

凸四角形 $ABCD$ において，
$$AB=BD=7 ,BC=5,CD=4, 2∠ACB+∠ACD=180°$$

が成り立ちました．このとき，線分 $AD$ の長さは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$​ と表せるので $a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．
不備等あれば教えて下さい。

問題文

$$ \sum _{k=0}^{2024} \dfrac{{}_{2024}\mathrm{C}_{k}}{2k+1}(-1)^{k}$$
は互いに素な二つの整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せます． $p$ は $2$ で最大何回割り切れますか？

解答形式

非負整数を半角数字で答えてください

問題文

方程式x⁶−6x⁵+15x⁴−47x³+15x²−6x+1=0の実数解を求めて下さい。

解答形式

正の整数a.b.cを用いて$\frac{b±√c}{a}$の形で表せられるので、a+b+cの値を半角で解答して下さい。

AさんとBさんは、黒板をつかって次のようなゲームをします。
ルール
・自分のターンでは、黒板に書かれている$1$以外の正整数を一つ選び、分割を行う。
自分のターン開始時に分割できる数がない場合敗北となる。
・分割...その数を$2$つ以上の正整数の和に分解すること。たとえば、$5$は$(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)$のいずれかに分割される。
はじめ、黒板には$1024$以下の正整数$X,Y,Z$が書かれています。Aさんから操作を開始し、両者が最適戦略をとりつづけるとき、Bさんが勝つような$(X,Y,Z)$の組の個数を求めなさい。

問題文

下図で、六角形ABCDEFは正六角形、点L,H,G,I,K,Jは六角形ABCDEFの辺の中点です。赤い部分の面積が72㎠のとき、青い部分の面積は何㎠ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

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誤りがあったため、解答を修正しました。迷惑をおかけして申し訳ありません。

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

縦4列、横4行の16マスのうち、いくつかに色を塗ります。塗られるマスの数が列ごとに相異なり、行ごとに相異なる(但し、列と行で塗られる数が一致しても良い)、場合、塗り方は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。