幾何

問題文

三角形$ABC$において，$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，$AD,BC$の中点をそれぞれ$M,N$とする.$A N$と$EF$の交点を$P$とし，$DP$と$MN$の交点を$Q$，三角形$ABC$の外接円と$AQ$が再び交わる点を$R$としたとき，$$AN＝10　AB＝9　NR＝3$$が成立した.このとき，$AC²$の値を解答してください.

解答形式

半角で解答してください.

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

単位立方体の内部からランダムに点を $2$ つ選んだときの平均距離を答えてください.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,b,c,d,e$ と互いに素な正の整数 $f,g$ と平方因子を持たない正の整数 $h,i,j,k$ と正の整数 $l,m,n$ を用いて
$$\frac{a+b\sqrt{h}-c\sqrt{i}-d\pi}{e}+\frac{\ln(l+\sqrt j)}{m}+\frac{f\ln(n+\sqrt k)}{g}$$
と表されるので, $a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n$ を解答してください.
ただし， $\ln x$ は $x$ の自然対数を表します．

注意

解説は用意していません

問題文

AB=ACなる二等辺三角形ABCにおいて、点Aから下ろした垂線の足をD、三角形ABCの外心.垂心をそれぞれO.Hとする。
AH:HD=119:25、OH=138、BC=480のとき、
ABの長さを求めよ。

解答形式

半角で回答して下さい。

$$\int^1_0\int^{\sqrt{1-z^2}}_0\sqrt{1-z^2-y^2}dydz$$

数列${a_n}$を以下のように定義する。
$$
\begin{eqnarray}
a_1&=&\int_0^1dx\\
a_{n+1}&=&\int_0^{a_n+1}x^{a_n}dx
\end{eqnarray}
$$
このとき、$\log_{10}(a_5)$の値を求めよ。

問題文

$$ \sum _{k=0}^{2024} \dfrac{{}_{2024}\mathrm{C}_{k}}{2k+1}(-1)^{k}$$
は互いに素な二つの整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{p}{q}$ と表せます． $p$ は $2$ で最大何回割り切れますか？

解答形式

非負整数を半角数字で答えてください

問題文

$∠B=60°$を満たす鋭角三角形$ABC$について、その内接円が$AC,AB$にそれぞれ$D,E$で接している。$∠B$の二等分線と直線$DE$の交点を$F$とすると以下が成立した。
$$
AB=4　CF=3
$$
$F$を通り$AB$と平行な直線と$AC$の交点を$G$とするとき、$CG²$の値を求めてください。

解答形式

半角で解答してください。

この問題には、必ず最初に解答をしてください。
解答はどんなものでも構いません。もし迷った際は、以下の文章をコピーペーストしても構いません。
「生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答えは42です」
最初に解答されなかった場合、以降の解答は無効となります。

次の値を小数第2位まで答えよ。
$$\int_0^1\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2}2}dx$$
ただし必要ならば以下のリンクを使ってもよい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布#正規分布表

この問題は、コンテスト機能のテストをするために投稿します。大喜利でもどうぞ。
$$2+2=?$$

$(x,y)$を$x^2+y^2=1,x\geqq0,y\geqq0$を満たすようにとる。
$z=(x,y)\cdot(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2})$としたとき、以下の値を求めよ。
$$\int_0^1zdx$$