初等幾何に強くなりたい！

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマス目を境界線で区切り、14分割する方法は何通りありますか？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

$10^{n^n}$を$998$で割った余りが$512$となる最小の自然数$n$を求めよ。

問題文

$(0,0),(4,0),(0,4),(4,4)$を頂点とする正方形を、頂点が全て格子点上にある三角形4つに分割する方法はいくつありますか。
回転や裏返しをして同じ形になるものも区別するものとします。

解答形式

半角数字で入力してください。

交わらない$2$円$O_1,O_2$は直線$m$に同じ側で接しており、その反対側に交わらない$2$円$O_3,O_4$が直線$m$に接している。円$O_x(x=1,2,3,4)$の半径を$x$、直線$m$との接点を$P_x$とすると、点$P_1,P_4,P_2,P_3$がこの順に並んだ。$P_1P_4=P_2P_3=5,P_2P_4=3$のとき、四角形$O_1O_2O_3O_4$の面積を求めよ。

問題文

$\sqrt[abc]{a! + b! + c!}$が整数となるような正の整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ.

解答形式

すべての組に対する $a+b+c$ の値の総和を解答してください。論証は解説を参照してください。

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$$
a_1 = 1,\quad a_2 = 2,\quad a_n = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} \quad (n \geq 3)
$$

解答形式

$a_{10}$を求めなさい。

問題文

SKG学院では,5×5のマス目を使い,とあるゲームが行われている.
ゲームのルールは以下である.
・お客さんと生徒がじゃんけんをする.勝った方が先手,負けた方が後手となる.
この時,あいこは考えないものとする.
・先手は黒の碁石,後手は白の碁石を,マスの上に交互に置いていく.
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない.
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び,その個数を数える.
特別な辺：ある行の5マスを見た時,お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの.
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち,奇数であれば生徒の勝ちとなる.

お客さんが勝つ確率をA,お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数をBとする.
A×Bの値を求めなさい.
但し,回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする.

解答形式

半角数字で入力して下さい.