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問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

問題文

$10^{12}$ 以下の正整数であって，$9$ の倍数または $10$ 進法表記した時どこかの桁に $9$ が現れる数はいくつありますか？

解答形式

非負整数で入力してください。

問題文

この四角に切れの解はいくつ存在しますか？
http://pzv.jp/p.html?shikaku/21/21/zzzi.z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z..z.9z..z..z..z..z..i

解答形式

非負整数で入力してください

問題文

じーえむ君は $n×n$ の盤面のマス目に $2\times 2$ の正方形タイルを重ならないように出来るだけ多く入れたいです。
ただし、盤面はトーラスになっています。上から $x$ 行目 左から $y$ 列目のマスを $(x,y)$ と表すとき、左上のマスが $(x,y)$ であるようなタイルは $(x,y),(x+1( mod \ n),y),(x,y+1( mod \ n)),(x+1( mod \ n),y+1( mod \ n))$ の $4$ マスを占有します。
じーえむ君が入れることが出来るタイルの数の最大値を $N$ とする時、じーえむ君がタイルを $N$ 個入れる方法は何通りありますか？
ただし、回転や平行移動などで一致する入れ方は区別して数えてください。

上記の問題は $n$ が $4$ で割って $1$ 余る数である時上手く解くことが出来ます。
$n= 333,1001,7777$ のそれぞれについて上記の問題を解いてその答えの総和を解答してください。

解答形式

非負整数で解答してください。

繧ｨ繝ｩ繝ｼ

マ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ標蜻ｪ謔ｲ魑ｴ上蜻ｪ格諤ｨ蠢ｵに蜻ｪ店蟄､迢ｬカ蜻ｪェ蜻ｪチ諤ｨ蠢ｵン店蜻ｪす。
諤ｨ蠢ｵの蜻ｪ謔ｲ魑ｴッ蟄､迢ｬカ諤ｨ蠢ｵに諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ、最蜻ｪ近諤ｨ蠢ｵのマ諤ｨ蠢ｵッ諤ｨ蠢ｵカ謔ｲ魑ｴと蜻ｪ蜻ｪ蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪン蟄､迢ｬは諤ｨ蠢ｵ蜻ｪど $1001$ に蟄､迢ｬま蜻ｪ。
$x,y$ 蜻ｪ標諤ｨ蠢ｵち諤ｨ蠢ｵ $1$ 蜻ｪ上 $n$ 以蜻ｪで謔ｲ魑ｴよ諤ｨ蠢ｵマ蜻ｪ蜻ｪッ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪフ諤ｨ蠢ｵ店蜻ｪ数諤ｨ蠢ｵ大値蜻ｪ $f(n)$ 諤ｨ蠢ｵる蟄､迢ｬ全蜻ｪ諤ｨ蠢ｵ蜻ｪ数 $n$ に蜻ｪ謔ｲ魑ｴ $cf(n)\geq n^2$ が謔ｲ魑ｴ立謔ｲ魑ｴ蜻ｪ謔ｲ魑ｴ負整蜻ｪ $c$ 蜻ｪ最小蜻ｪを蟄､迢ｬて諤ｨ蠢ｵさ蜻ｪ。

逡ｰ蟶ｸ逋ｺ迴ｾ

非謔ｲ魑ｴ数蜻ｪ解諤ｨ蠢ｵて蜻ｪ謔ｲ魑ｴい。

数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題

$a=2+\sqrt3$とする.
このとき
$$a^{2025}+a^{2023}+...+a^3+a$$ の$1$の位を求めよ.

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

素数 $p$ を用いて表される整数 $p-4, p^2-6, p^3-26$ が全て素数となるような $p$ の総和を求めよ。

解答形式

算用数字で解答してください。

問題文

$1$ 以上 $15$ 以下の整数の組 $(a, b, c)$ であって
$$(2a + 2b + 2c - 33)^2 = (|2a - 9| + |2b - 11| + |2c - 13|)^2$$

をみたすものは全部でいくつありますか？

解答形式

半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

四角形$ABCD$があります.線分$AC$上に点$P$を,線分$BP$上に点$Q$を,線分$DP$上に点$R$を取ります.直線$AQ$と線分$BC$,直線$CQ$と線分$AB$,直線$AR$と線分$CD$,直線$CR$と線分$AD$の交点をそれぞれ$S,T,U,V$とします.
$$\triangle BSA=(四角形BSPT)+8=\triangle BCT+12 \\\\\triangle AUD =30,\triangle CDV=25$$
が成り立つとき四角形$DVPU$の面積を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な自然数$p,q$を使って$\cfrac{q}{p}$と表されるので$p+q$の値を答えてください.

(変更 2024/6/27 ヒントを変えました.解説を未正解者も見れるように変更しました.)

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。