問題

noppi_kun 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年4月1日22:00 正解数: 3 / 解答数: 15 (正答率: 20%) ギブアップ数: 9
この問題はコンテスト「USOSMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM...」の問題です。

問題文

鋭角三三三角形 $ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$ において,その外心を $O$,垂心を $H$,内接円を $\omega$ としたとき,$O,H$ はともに $\omega$ 上にあり,$\omega$ の半径は $1$ であった.
この条件下で線分 $OH$ の長さとしてありうる値の総積を $xxxxxxxxxx$ とする.$xxxxxxxxxx$ の最小多項式を $P$ として,$|P()|$ の値を解答せよ.ただし,$xxxxxxxxxx$ が最小多項式をもつことが保証される.

解答形式

半角数字を用いて解答せよ.解答すべき値が $$ でないことは保証される.


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左から右に一列に並んだ $n$ 色のボールがあります。AliceとBobはボールを使ったデスゲームで遊ぶようです。
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各手番のプレイヤーは隣り合う $2$ つのボールを選択し、その位置を入れ替えます。この時、その $2$ つのボールの組が(自分相手関係なく)過去に選ばれていた場合、全てのボールが大爆発し、手番のプレイヤーは死にます。死ななかった方が勝ちです。

例: $n=3$ の場合
最初のボールの並びを (赤,青,黄) とします。
Aliceの手番
赤と青を入れ替えました。盤面:(青,赤,黄)
Bobの手番
赤と黄を入れ替えました。盤面:(青,黄,赤)
Aliceの手番
黄と青を入れ替えました。盤面:(黄,青,赤)
Bobの手番
赤と青を入れ替えようとしますが、赤と青の組は最初のターンで選ばれています。全てのボールが大爆発し、Bobは死にました。
Aliceの勝利です。

Bobが死んでしまったのでゲームが出来なくなってしまいました...

あなたが代わりに参加して下さい。
あなたが負けた場合は全ての問題が大爆発し、得点が-5000兆点になります。
今回は $n=333$ です。あなたが先手か後手を選んでください。

解答形式

あなたが選ぶ手番を先手か後手の漢字二文字で解答してください。
この問題に不正解の判定を受けた場合、あなたのUSOMO004での得点は $-5000000000000000$ 点になります。

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正の有理数に対してスコアを次のように定義する。
有理数に対して正則連分数の数列を $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$とした時、$\sum^{n}_{i=0}a_i$
連分数を知らない人は下のWikipediaを見ても良いです
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

例えば、$9$ のスコアは $9$ で、$\frac{7}{4}$ のスコアは $5$ で、$\frac{1}{7}$ のスコアは $7$ です。

スコアが $10$ であるような正の有理数の中で $100$ 番目に小さいものを解答してください。

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて、$\frac{b}{a}$ と表せるので $a+b$ を解答してください。

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この問題の提出制限は $5$ 回です。

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