第1問

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例）答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。

問題文

$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$, 最小公倍数を$l$とする。$504$の正の約数の個数を$n$としたとき、$g$の正の約数の個数は$\frac{n}{3}$、$l$の正の約数の個数は$\frac{9n}{2}$であった。$x$の素因数が$2,3,5,7$であるとき、$l$の値を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。

問題

$P(x)$ は整数係数の monic な (最高次の係数が1の) 3次多項式 であるとする。方程式 $P(x) = 0$ は、相異なる3つの整数解を持 つことが分かっている。
$P(0)＝6$
$P(1)＝4$
のとき、$P(4)$の値を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=13053769$を満たす自然数$(a,b,c,d,e)$の組を1つ求めよ。ただし、$a<b<c<d<e$とする。

解答形式

a,b,c,d,e,fの順で、間を半角スペースで区切り解答してください。
(例)$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$だった場合
→1 2 3 4 5

問題文

$P(x)$ は整数係数の3次多項式である。
すべての整数$ n $に対して、$P(n)+1$ は常に立方数となるとする
$P(0)=7$ および $P(1)=26$ が成立している。
このとき、$P(2)-P(-1)$ の値を求めよ。

回答形式

半角スペースなし

問題文

下の問題の積分の値を求めなさい。
$$ \int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(x^2+1)^2} dx $$

解答形式

例）$-\frac{1}{2}$の場合
-1/2
と半角英数字で入力してください。

問題文

素数 $p$ と正の整数 $n$ が、以下の等式を満たすとします。
$$\frac{n^2+np+p^2}{n+p} = 2p-1$$
このような組 $(n,p)$ を全て求めてください。

解答形式

解が有限個であるとされた場合は、全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。無限個とされた場合は証明いらないので、何らかの形で解を表してください。証明に完全性がないと見なした場合は、採点機能がない都合上、99点をあげたいところも不正解とさせていただきます

問題文

正の実数からなる $2$ つの数列 $a_1,a_2,...$ と $b_1,b_2,...$ があり, 任意の整数 $n$ について以下を満たしている．
$$
(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)または(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right)が成立する．
$$
$(a_1,b_1)$ が $(7,11)$ であるとき, $a_{100}$ としてあり得る値の中で $2025$ 番目に小さいものを求めよ．

解答形式

答えの値を $x$ としたとき, $2^{100}x$ の値を解答してください．
参考:$2^{100}=1267650600228229401496703205376$

問題文

次の極限を求めてください。
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{{}_nC_k}{(k+1)(n+1)^k}$$

解答形式

解答に分数や特殊な文字、累乗を使用したい場合はTeX記法に則ってください。$は必要ありません。

問題文

以下の関数$f(x)$の最小値の$2$乗を求めてください。($x$は実数)

$$
\begin{align}
f(x)= \ &\bigg\{48\lim_{N\rightarrow\infty}\Bigg(\sum_{k=0}^{N}\frac{\sqrt{N^2+k^2}}{N^2}\Bigg)-12\log\big(3+2\sqrt{2}\big)\bigg\}x^4\\
&+\sqrt{2} \ d\Bigg(\sum_{n=10}^{20}{}_n\mathrm{C}_{10}\Bigg)x^3-\bigg\{\max_{\theta\in\mathbb{R}}\bigg|\begin{pmatrix}96\\96\sqrt{7}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}\bigg|\bigg\}x^2\\
&-768\sqrt{2}\Bigg(\mathrm{Re}\sum_{m=0}^{\infty}\Big\{2^{-\frac{m}{2}}\Big(\cos\frac{m\pi}{12}+i\sin\frac{m\pi}{12}\Big)\Big\}-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigg)x+120\sqrt{2}
\end{align}
$$

ただし、$d(n)$は約数個数関数、縦書きの()はベクトル、$|A|$は絶対値、$\max_{\theta\in\mathbb{R}}f(\theta)$は$\theta$を実数範囲で動かしたときの$f(\theta)$の最大値、$\mathrm{Re}(z)$は$z$の実部を表します。

解答形式

非負整数を半角英数字で入力してください。

問題文

$AB<AC$ で，線分 $AB,AC$ の長さが正整数値である三角形 $ABC$ について，半直線 $CB$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $D$ ，半直線 $BC$ 上で線分 $BC$ 上でないところに点 $E$ をそれぞれ置く．また，三角形 $ADE$ の外接円と直線 $AB,AC$ との交点のうち，$A$ でないほうをそれぞれ $P,Q$ とする．$4$ 点 $B,P,Q,C$ が同一円周上にあり，$DB=9,BC=45,CE=5$ のとき，線分 $PQ$ の長さとしてあり得る値の総和は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。