解説
\begin{align}
\displaystyle\frac{(i+j)!(2n-i-j)!}{i!j!(n-i)!(n-j)!}={}_{i+j}\mathrm{C}_{i} \cdot {}_{2n-i-j}\mathrm{C}_{n-i}
\end{align}
これは，$(x,y)$ から $(x+1,y)$ または$(x,y+1)$ へ移動する操作を繰り返して ，$(0,0)$ から $(n,n)$ まで行く経路のうち，$(i,j)$ を通る経路の総数に等しい．一つの経路に対して，ちょうど $2n+1$ 個の格子点を通るので，
\begin{align}
\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} \frac{(i+j)!(2n-i-j)!}{i!j!(n-i)!(n-j)!}
=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} {}_{i+j}\mathrm{C}_{i} \cdot {}_{2n-i-j}\mathrm{C}_{n-i}
=(2n+1)_{2n}\mathrm{C}_{n}
\end{align}
従って，
\begin{align}
\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{(n-1)!(i+j)!(2n-i-j)!}{i!j!(2n)!(n-i)!(n-j)!}
&=\sum_{n=1}^{10} \frac{(n-1)!}{(2n)!}\left (\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} {}_{i+j}\mathrm{C}_{i} \cdot {}_{2n-i-j}\mathrm{C}_{n-i}-2 \sum_{i=0}^{n}{}_{2n-i}\mathrm{C}_{n}+ {}_{2n}\mathrm{C}_{n} \right )\\
&= \sum_{n=1}^{10} \frac{(n-1)!}{(2n)!}\left ((2n+2)_{2n}\mathrm{C}_{n}-2_{2n+1}\mathrm{C}_{n} \right )\\
&=\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \frac{2n}{(n+1)!}\\
&=\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \left ( \frac{2}{n!}-\frac{2}{(n+1)!} \right )\\
&=\displaystyle \frac{2}{1!}-\frac{2}{11!}\\
&=\displaystyle \frac{2(11!-1)}{11!}
\end{align}
よって，$p=\displaystyle \frac{11!}{2}，q=11!-1$ となるので，
\begin{align}
p+q= \displaystyle \frac{3 \cdot 11!}{2}-1=\mathbf{59875199}
\end{align}
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