$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか?
半角数字で入力してください。
3次の既約モニック多項式$f(x)$に対して$x^{343}-x$を$f(x)$で割ったときの余りを考えてみる。
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「オ」「タ」「チ」の $3$ 種類の文字で構成される長さ $n$ の文字列に対して,オオタチ度を,その文字列の中で連続する $4$ 文字が「オオタチ」となっているようなものの数と定義します. たとえば「チタタオオタチオタチタオオオタチ」のオオタチ度は $2$ で,「チタオオチタオオチタオオ」のオオタチ度は $0$ です. 長さが $n$ で構成する文字が $3$ 種類のため,文字列としては $3^n$ 種類のものが考えられます.これらのオオタチ度の相加平均を $f(n)$ とします. $f(n)$ が正整数になる最小の $n$ を解答してください.
半角数字で解答してください.
$10$人で輪になってじゃんけんをするとき,どの隣り合う$3$人も「あいこ」にならないような手の出し方は何通りありますか?
半角数字で入力してください.
自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します. $$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。
問題を少し変更いたしました。
答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。
正の整数 $a,b,c$ が
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^b \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^c =\begin{pmatrix} 1 & 20 & 2024\\ 0 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
を満たすとき、$a+b+c$ の値を求めよ。
半角数字で1行目に入力せよ。
$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。
このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。
条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
定積分
$$ \int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx $$
を求めよ。
値は半角数字で記述せよ。無理数などを用いたい場合は必要ならばTeX記法により記述せよ。
$100\times 100$のマス目に整数(負でもよい)を書き込んで、各行・各列の積が全て$10$になるようにしたものを良い盤面と呼びます。良い盤面に書かれた数の$2$乗和をその良い盤面のスコアとします。 すべての良い盤面にわたるスコアの総和を$M$とするとき、$M$が$2$で割り切れる最大の回数を求めてください。
2つのパラメーター(0,0) がある 一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする それぞれ1/4の確率で起こる この時操作をした回数が2n(nは自然数)の時パラメーターが(0,0)になる確率はnが大きければ大きいほど低くなることを証明せよ
証明形式
(1) 定積分
$$ \int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx $$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$ f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x $$
で定める。定積分
$$ \int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx $$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
表面積が$\displaystyle n \sin \frac{2\pi}{n}$である正$n$角錐の体積の最大値を$V_n$とする。極限値 $$\begin{eqnarray} A &=& \lim_{n \to \infty} V_n \\ B &=& \lim_{n \to \infty} n^2 (V_n -A ) \end{eqnarray}$$を求めよ。
$A,B$は $$ A = \fboxア \frac{\pi^\fboxイ}{\fboxウ} , \qquad B = \fboxエ \frac{\fboxオ \pi^\fboxカ}{\fboxキ} $$となるので文字列「$\fboxア\fboxイ\fboxウ\fboxエ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$」をすべて半角で1行目に答えてください。ただし$\fboxア\fboxエ$は$\texttt{+-}$のどちらか、$\fboxイ\fboxウ\fboxオ\fboxカ\fboxキ$は自然数であり、$\fboxオ$と$\fboxキ$は互いに素です。例えば$\displaystyle A=+\frac{\pi^{2}}{3},B=-\frac{5\pi^{7}}{11}$としたいときは+23-5711と回答してください。計算して-5688とはしないでください。
間違えて公開してしまい、回答を一件いただいているので、泣く泣くボツ問としてここに供養します。
$\min(f(x))$を関数$f(x)$の$-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$における最小値とする。 以下の値を求めよ。 $$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$ ただし$a$と$x$は独立している。