既約モニック多項式の個数

shakayami 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2020年6月11日0:06 正解数: 3 / 解答数: 8 (正答率: 37.5%) ギブアップ不可

問題文

$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか?

解答形式

半角数字で入力してください。


ヒント1

3次の既約モニック多項式$f(x)$に対して$x^{343}-x$を$f(x)$で割ったときの余りを考えてみる。


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解答提出

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(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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2つのパラメーター(0,0)
がある
一回の操作でどちらかの数字を1増やすか減らすかする
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解答形式

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問題文

$65537=2^{16}+1$ が素数かどうか、計算機を使わずに判定したい。以下では $p$ を3以上の素数として、⑴から⑸の問いに答えよ。

⑴ $2^p$ を $p$ で割ったあまりは $p$ によらないことを示し、その値を求めよ。
⑵ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$2^n$ を $p$ で割ったあまりが $1$ になるような最小の自然数 $n$ を求めよ。
⑶ $65537$ が $p$ で割り切れるとき、$p$ を $32$ で割ったあまりとしてあり得る値をすべて求めよ。
⑷ $ p < \sqrt{65537}$ をみたす $p$ であって、$p$ を $32$ で割ったあまりが⑶で求めた数になるようなものをすべて求めよ。
⑸ 以上の結果から、$65537$ が素数かどうか判定せよ。

解答形式

以下の指示に従って、すべて半角数字で入力せよ。

⑴から⑷までの答えはいずれも非負整数である。
⑴の答えを1行目に入力せよ。
⑵の答えを2行目に入力せよ。
⑶の答えは1つずつ改行して3,4,......i 行目に小さい順に入力せよ。
⑷の答えも1つずつ改行してi+1,i+2, ......j行目に小さい順に入力せよ。
最後に⑸の答えとして、$65537$ が素数であれば1を、そうでなければ0を入力せよ。

20/06/19: 解答の一部にミスがあったため修正しました。

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$m$ と $n$ を互いに素な自然数とします.実数係数多項式 $f(x)$ が次の性質をもっているとき,$f(x)$ を $m,n$-生成の多項式と呼ぶことにします.

  • 性質:すべての実数係数多項式 $g(x)$に対して,$f(x)g(x)=h(x^m, x^n)$ となるような実数係数の2変数多項式 $h(x,y)$ が存在する.

$x^k$ がすべての $10,n$-生成の多項式を割り切るような最大の自然数 $k$ は


です.ただし,単項式も多項式に含まれるとします.

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センター試験方式です.ア,イ,ウにはそれぞれ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 および -,a,b,c,d のいずれか1文字が当てはまります.ア,イ,ウに 1, 2, 3 が当てはまるなら,123 と回答してください.

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自然数の組に対する二項演算 $\small \bigcirc$ および $ \triangle$ は以下の条件を満たすとする。

$$
\newcommand{\o}{\ \small\bigcirc \ \normalsize }
\newcommand{\tr}{\ \triangle \ }
a\tr b=\underbrace{(a\o (a\o (\cdots \o(a\o a))))}_{a\ が\ b\ 個}
$$

二項演算 $\tr$ が可換性

$$
a\tr b=b\tr a
$$

を満たすとき、次の問に答えよ

(1)  $1\o 1=2$ を示せ。

(2)  演算$\o$が結合法則

$$
a\o(b\o c)=(a\o b)\o c
$$

を満たすとき $2020\tr 2019$ の値を求めよ。

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半角数字で入力してください.

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$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

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半角数字で解答してください。

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関数 $f(x)$ を $f(x)=4x(1-x)$ で定義し、数列 $ \{ x_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
x_1=\sin^2{1}=0.708073418...,\ \ x_{n+1} = f(x_n) \ \ (n=1,2,...)
$$

で定める。このとき、 極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log|f'(x_k)|$ を求めよ。

注: 角度の単位はラジアンを用いる。 $\log$ は自然対数を表すものとする。また、$\pi$ が無理数であることは認めてよい。

解答形式

求めた極限値を小数で表し、絶対値の小数第4位を四捨五入したものに、必要ならば負号をつけて答えよ。すべて半角で入力すること。
例1: $2\pi = 6.2831...$と解答する場合には、「6.283」と入力せよ。
例2: $-\pi = -3.1415...$と解答する場合には、「-3.142」と入力せよ。

また、必要なら以下の自然対数の値を用いよ。
$\log2 = 0.6931..., \log3=1.0986... ,\log7 =1.9459...$

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問題文

次の命題の真偽を答えなさい。

  1. $0\leq a, b < 10$ を満たす実数 $a,b$ を $10$進小数 で表したものをそれぞれ $a_0.a_1a_2a_3\cdots, \;b_0.b_1b_2b_3\cdots$ とするとき,ある $k=0,1,\cdots$ に対して $a_k\neq b_k$ ならば $a\neq b$ である。

  2. $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ を平行(*)でない平面ベクトルとする。実数 $k_1, k_2, k_1', k_2'$ に対して
    \begin{equation}
    k_1\vec{a}_1+k_2\vec{a}_2=k_1'\vec{a}_1+k_2'\vec{a}_2
    \end{equation}が成り立つならば $k_1=k_1'$ かつ $k_2=k_2'$ である。

  3. 実数全体を定義域とする微分可能な実数値関数 $f(x)$ が
    \begin{equation}
    f'(x)=x
    \end{equation}を満たすとする。このとき,$f(x)$ はある実数 $a$ を用いて
    \begin{equation}
    f(x)=\int_a^x t dt
    \end{equation}と表せる。

  4. 数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は $n\to\infty$ である実数に収束するとする 。任意の $n$ に対して $b_n\neq 0$ ならば,数列 $\displaystyle{\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}}$ も収束する。

注意

  • *この問題では,平面ベクトル $\vec{a}_1, \vec{a}_2$ が平行であるとは $\vec{a}_1=k\vec{a}_2$ となる実数 $k\neq 0$ が存在することをいいます。
  • (2020/6/11 15:40 更新)命題 1 の条件を変更しました。正解には影響ありません。

解答形式

$k=1,2,3, 4$ に対して,命題 $k$ が真なら T を,偽なら F を第 $k$ 行に出力してください。

[E] minimum value (hard)

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問題文

$a,b$を$a>1,b>1$を満たす実数とする。
$\theta$が$0\leq\theta<2\pi$の範囲を動くとき$f(\theta)=\sqrt{a^2-2a\cos\theta+1}+\sqrt{b^2-2b\sin\theta+1}$の最小値が$\sqrt{a^2+b^2}$となるような$(a,b)$の存在範囲を$ab$平面に図示したとき、その領域の面積を求めよ。

解答形式

整数または既約分数で答えてください。
半角で入力してください。