既約モニック多項式の個数

shakayami 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 大学数学
2020年6月11日0:06 正解数: 7 / 解答数: 19 (正答率: 36.8%) ギブアップ不可

問題文

$\mathbb{F}_7$を位数7の有限体とする。このとき$\mathbb{F}_7$係数の3次多項式であって既約かつモニックであるものはいくつ存在するか?

解答形式

半角数字で入力してください。


ヒント1

3次の既約モニック多項式$f(x)$に対して$x^{343}-x$を$f(x)$で割ったときの余りを考えてみる。


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半角数字で入力してください.

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$$
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^b
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^c
=\begin{pmatrix} 1 & 20 & 2024\\ 0 & 1 & 24 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
$$

を満たすとき、$a+b+c$ の値を求めよ。

解答形式

半角数字で1行目に入力せよ。

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解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

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$$
\int_0^1 (\sqrt[7]{1-x^{11}}-\sqrt[11]{1-x^{7}})dx
$$

を求めよ。

解答形式

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解答形式

半角数字で解答してください.

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解答形式

半角数字で入力してください.

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(1) 定積分

$$
\int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx
$$

の値を求めよ。

(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を

$$
f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x
$$

で定める。定積分

$$
\int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx
$$

の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。

備考

この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。

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以下の値を求めよ。
$$\int^{16}_0\min(\tan^2{x}+a\cos{x})da$$
ただし$a$と$x$は独立している。