KOTAKE杯006(F)

MrKOTAKE 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年7月9日21:00 正解数: 6 / 解答数: 8 (正答率: 75%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「KOTAKE杯006」の問題です。

問題文

三角形 $ABC$ があり,その内心を $I$ とし,内接円 $\omega$ と線分 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $D,E,F$ とします.直線 $BC,EF$ の交点を $P$ とし,$I$ から線分 $AP$ におろした垂線の足を $Q$,線分 $DQ$ と $\omega$ の交点のうち $D$ でないものを $R$ とすると,
$$RD=9,\quad RQ=6,\quad AF=10$$
が成立しました.このとき,線分 $PR$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください


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$$BD=3,\quad AC=10,\quad \angle ADO=90^\circ$$
が成立しました.このとき,線分 $AD$ の長さの $\mathbf{4}$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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半角数字で入力してください。

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三角形 $ABC$ があり,外心を $O$ とした時以下が成り立ちました.
$$
AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5
$$
この時,三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください.ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

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$$CD=3,\quad AD=7$$
が成立しました.このとき,線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$  $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$  $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
 入力を一意に定めるための処置です。
 たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。