全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して2で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。
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$$ a²+b²=c²,gcd(a,b,c)=1 $$ を満たす自然数a,b,cが存在するとき 任意の自然数tに対して $$ aₜ²+bₜ²=c²ᵗ,gcd(aₜ,bₜ)=1 $$ を満たす自然数aₜ,bₜが存在することを示せ
例)ひらがなで入力してください。
正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は,任意の正整数 $a, b, c$ において,以下を満たしました. $$ f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2 $$また,$f(15)=15$ を満たすとき,$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください.
半角数字で解答してください.
$\pi$ が $\dfrac{1000\pi}{1001}\risingdotseq 3.13845\cdots$ よりも大きいことを示せ
(10進法で)正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。 例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。 次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。 ・各桁の数の総和が10である。 ・どの桁にも0は使われていない。
半角整数で入力してください。
$3^{2025}$を $11$ で割った余りを求めよ。
半角左詰め
$\pi$ と $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ はどちらが大きいか。
${999}$を2以上の最小の$2$つの立方数の差で表せ。
a>b>1の自然数を用いてa^3-b^3というふうに表せるのでabと2つの整数を連続して半角で書いてください。 (例:15^3-3^3なら解答は153)
(1) $a,b$ を整数でない正の有理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(2) $a$ を整数でない正の有理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
(3) $a,b$ を正の無理数とする。 $a^b$ は常に無理数か。
(4) $a$ を正の無理数とする。 $a^a$ は常に無理数か。
解答欄に改行区切りで O (オー)または X (エックス)を記述せよ。正解判定は各行に対して行われ、完答のみ正解となる。
O
X
https://pororocca.com/problem/19/ こちらの問題の設定で,「裏裏裏裏裏表表表表表」というピザの塔ができるような調理は何通りあるか答えなさい.
半角数字で入力してください.
(1) 定積分
$$ \int_0^1 \frac{x\log x}{(x+1)^2}dx $$
の値を求めよ。
(2) 関数列 ${f_n(x)}$ を
$$ f_{n+1}(x)=(x^x)^{f_n(x)},\quad f_1(x)=x^x $$
で定める。定積分
$$ \int_0^1(x^x)^{{(x^x)}^{(x^x)\cdots}}dx:=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x)\ dx $$
の値を求めよ。ただしテトレーション $x^{{x^{x\cdots}}}$ は底 $x$ が $e^{-e}<x<e^{1/e}$ のとき収束することは証明せずに用いて良い。
この問題の正解判定は出題者により手動で行われるため、判定までに時間がかかることがある。
$a,b,c$ を実数とする。次の連立方程式を解け。
$$ a^2-4b-1=0\\ b^2-8c+28=0\\ c^2-6a+2=0\\ $$
a,b,cを半角数字として(a,b,c)で解答してください。無理数などを使いたい場合はTeXコマンドを使用してください。
「ボ」と「ー」からなる文字列のうち,以下の条件を満たすものをボー文字列と呼ぶことにします.
条件:長音記号「ー」が文字列の先頭にくることはなく,連続して現れない.
例えば,「ボボー」や「ボーボボ」はボー文字列ですが,「ーボー」や「ボボーー」はボー文字列ではありません.
ボー文字列に対して,次の操作を行うことを考えます.
操作:ボー文字列に対して,次のうちいずれか一方を行う.
ただし,得られた文字列はボー文字列でなければならない.
1文字「ボ」から始めて,ボー文字列に対してくり返し操作を行い $n$ 文字からなるボー文字列が得られたとします.異なる操作の仕方の総数を $a_n$ とするとき,$a_{10}$ を求めなさい.
半角数字で入力してください。