柏陽祭2025 (B)

正方形$ABCD$について, 直線$BC$上に点$E$を点$B, C$と重ならないようにとり, 正方形$AEFG$を正方形$ABCD$と向きが同じになるようにとります. 線分$CF$の長さが$8$のとき, 正方形$ABCD$と正方形$AEFG$の面積の差として考えられる値の総和を求めてください.

鋭角三角形$ABC$について, 外接円を$Ω$, 垂心を$H$, 辺$BC$の中点を$M$, 点$H$から直線$AM$に下ろした垂線の足を$K$とします. 直線$BH, CH$と$Ω$の交点をそれぞれ$E(\neq B), F(\neq C)$とし, 線分$EF$の中点を$N$とします. さらに, 辺$AC$上(端点を除く)に点$P$をとると以下が成立しました.
$$
\triangle FNP \backsim \triangle AMC,　\angle PFA=\angle BAM,　BK=5
$$

このとき, 線分$PE$の長さの二乗としてありうる値の総和を求めてください.

問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME,　AE=25,　BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

問題文

以下のように点 $O$ を中心とする円周上に三角形 $ABC$ が内接しています。この円の内部に点 $D$ を取ると、$AB=BC=AO=4,\angle BAD=90°$ が成り立ち、さらに三角形 $AOD$ の面積は $3\sqrt{3}$ でした。このときの線分 $CD$ の長さの $2$ 乗を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を半角数字で解答してください

問題文

$\angle A$ が鈍角の二等辺三角形 $ABC$ があり，外接円を $\Omega$ とします．$\Omega$ の点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $P$ をとり，直線 $BP$ と点 $C$ における $\Omega$ の接線の交点を $Q$ とし，直線 $AP$ と線分 $CQ$ の交点を $R$ とすると以下が成立しました．
$$BC＝40,\quad BP＝14,\quad QR＝9$$
このとき線分 $AP$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．$AD,EF$ の交点を $P$ とすると，以下が成立しました．
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD＝5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり，点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば，
$$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$，垂心を $H$ とします．線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば，直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し，

$$BC＝30,\quad CH＝25$$
が成立しました．このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，線分 $BC$ 上に点 $P$ をとる．三角形 $ABP$$,$ 三角形 $ACP$ の内心をそれぞれ $I,J$ とすると，
$$IJ \parallel BC,\quad AB:AC=4:5,\quad BP=8,\quad CP=9$$
が成立したので三角形 $ABC$ の面積を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．