柏陽祭2025 (C)

ulam_rasen 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月20日10:00 正解数: 13 / 解答数: 61 (正答率: 21.3%) ギブアップ不可
初等幾何
この問題はコンテスト「柏陽祭2025」の問題です。

全 61 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年9月25日20:58 柏陽祭2025 (C) ykymst
正解
2025年9月21日23:26 柏陽祭2025 (C) juicethekidd999
正解
2025年9月21日22:35 柏陽祭2025 (C) lamenta
正解
2025年9月21日22:35 柏陽祭2025 (C) k4rc
正解
2025年9月21日21:57 柏陽祭2025 (C) arare_arare
正解
2025年9月21日21:53 柏陽祭2025 (C) lamenta
不正解
2025年9月21日17:17 柏陽祭2025 (C) arare_arare
不正解
2025年9月21日15:32 柏陽祭2025 (C) arare_arare
不正解
2025年9月21日0:02 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月21日0:01 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月21日0:01 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月21日0:01 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:59 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:59 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:59 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:59 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:59 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:58 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:57 柏陽祭2025 (C) hibernation
不正解
2025年9月20日23:54 柏陽祭2025 (C) hibernation
不正解
2025年9月20日23:53 柏陽祭2025 (C) hibernation
不正解
2025年9月20日23:48 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:48 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:32 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解
2025年9月20日23:21 柏陽祭2025 (C) crambon
不正解

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辺$AB$と辺$BC$と辺$CD$の長さが等しい凸四角形$ABCD$について, 辺$BC$と辺$AD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたところ, 以下が成り立ちました.
$$
\angle BAD=75°, \angle CDA=45°, MN=3
$$

このとき, 四角形$ABCD$の面積は正整数$a, b$を用いて$a+\sqrt{b}$ と表すことができるので, $a+b$ の値を求めてください.

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半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3, AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

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$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

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問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME, AE=25, BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

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$a,b$ を $a \le b$ を満たす正の整数とします。
$2025\times 2026$ のマス目があります。ここに $a\times b$ のタイルを何枚か置くことでマス目を隙間なく敷き詰めることが出来ました。
このような $(a,b)$ の組はいくつありますか?

追記 タイルは回転してかまいません。

解答形式

半角数字で解答してください

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ある三角形は内接円の半径が $9$、外接円の半径が $25$、傍接円の一つの半径が $\sqrt{2025}$ です。この三角形の面積を求めてください

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください。

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問題文

$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり,その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります.
また,線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします.
$a,b$ の交点を $E$,$b,c$ の交点を $F$,$c,d$ の交点を $G$,$d,a$ の交点を $H$ とすると,$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり,四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました.
 そして,以下が成立しました:
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
 このとき,$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.

解答形式

非負整数を半角で入力してください.

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問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ と $BC$ の交点を $D$、$BC$ の中点を $M$ とすると、$B,D,M,C$ がこの順に並びました。$AH$ を直径とする円と $AM$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とすると、$∠CXM=∠BAM$ でした。$BD=23,DM=42$ のとき、三角形 $ABC$ の面積を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

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鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.$AD,EF$ の交点を $P$ とすると,以下が成立しました.
$$DE=37,\quad EF=40,\quad AP:PD=5:6$$
このとき線分 $DF$ の長さを解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

$AB<AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり,点$A,B,C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします.半直線 $EF$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とすれば,
$$AC=BP,\quad BD=60,\quad CD=92$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.

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問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり重心を $G$,垂心を $H$ とします.線分 $GH$ の中点を $M$ とすれば,直線 $AM$ は $ \angle BAC$ を二等分し,

$$BC=30,\quad CH=25$$
が成立しました.このとき線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.