問題5

tomorunn 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年9月13日18:00 正解数: 6 / 解答数: 8 (正答率: 75%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「某校数研からの挑戦状!」の問題です。

全 8 件

回答日時 問題 解答者 結果
2025年9月21日18:37 問題5 kmk_math
正解
2025年9月14日17:11 問題5 Weskdohn
正解
2025年9月14日14:58 問題5 arararororo
正解
2025年9月14日9:28 問題5 ISP
正解
2025年9月14日5:59 問題5 ZIRU
正解
2025年9月13日21:38 問題5 MARTH
正解
2025年9月13日21:22 問題5 MARTH
不正解
2025年9月13日21:19 問題5 MARTH
不正解

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tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす.
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき,$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

問題6

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
24日前

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問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題2

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
24日前

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問題文

格子点上を,点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ,点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む.
このとき,2 本の経路が交差しない(頂点共有もしない)組の総数を求めよ.

解答形式

例)半角数字で入力してください。

問題4

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
24日前

13

問題文

以下の条件に従って数列 ${a_n}$ を定義するとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^{2025} a_n$ の取りうる値の総和を求めよ.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_n$ は $0$ 以上の整数である.
・すべての正整数 $n$ に対し,$a_{2^n}=a_2^n$ を満たす.
・すべての正整数 $n$ に対し,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$ を満たす.

解答形式

半角数字で入力してください。

D. ループ

G414xy 自動ジャッジ 難易度:
12月前

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問題文

4x4のマスのうち1個以上に、対角線を1本ずつ引いたとき、全ての対角線がループの一部分であるものは何通りですか?
但し、「ループの一部分である」とは、
全ての対角線の端が、ちょうど1つの別の対角線の端と同位置にあることを意味します。

解答形式

半角数字で入力してください。

800A

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5月前

16

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題3

tomorunn 自動ジャッジ 難易度:
24日前

10

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって,
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ.

解答形式

半角数字で入力してください。

第8問

sulippa 採点者ジャッジ 難易度:
4月前

2

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。


解答形式

階乗のシグマと合同式

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問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$ 
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

400C

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各頂点の重みが $1$ または $2$ である根付き $2$ 分木で、各頂点の重みの総和が $n$ になるもののうち重みが $2$ である頂点の数が偶数個であるものの個数を $X_n$ ,奇数個であるものの個数を $Y_n$ とするとき $X_{100}-Y_{100}$ を求めてください。
 ただし, 各頂点について右の辺の子と左の辺の子は区別するものとします.

C. 地雷

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問題文

4x4のマス目のうち、0個以上のマスを選んで1つずつ地雷を置き、すべてのマスに周囲8マス(自身を含まない)の地雷の数を書きます。
地雷を置くすべてのパターンにおいて書かれている数字の総和を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

ちょっと前に生えたやつ

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問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください