ABC(A)

問題文

$13$ の倍数である $9$ 桁の正整数であって，上 $3$ 桁の整数も上 $6$ 桁の整数も $13$ の倍数であるようなものはいくつありますか？

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

ある正の実数 $k$ があり，$x$ についての $4$ 次多項式 $f(x)$ を

$$f(x)=x^4+4kx^3+3kx^2+2kx+k$$

と定めます．方程式 $f(x)=0$ は相異なる $4$ 個の複素数解を持ったのでそれらを $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ とし，さらに $x$ についての $4$ 次多項式 $g(x)$ を，$4$ 次の項の係数が $1$ であり，かつ方程式 $g(x)=0$ が $4$ 個の複素数解 $\dfrac{1}{\alpha},\dfrac{1}{\beta},\dfrac{1}{\gamma},\dfrac{1}{\delta}$ を持つように定めます．
$g(6)=2025$ であるとき，$k$ の値を求めてください．

解答形式

答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

問題文

以下の条件をすべて満たすような正整数 $n$ はいくつありますか？

• $n$ は $3$ の倍数である．

• $2$ 進法で表記した $n$ はちょうど $15$ 桁の数で，そのうち $5$ つの桁の数字が $0$ である．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$2$ 以上の整数 $n$ のうち，次の条件を満たすものはいくつありますか？

• $n$ の $k$ 個の正の約数を小さい順に $d_1,d_2,\dots,d_k$ としたとき，任意の $1$ 以上 $k-1$ 以下の整数 $i$ について $d_{i+1}-d_i\leq40$ が成立する．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ について，重心を $G$ ，線分 $AB$ の中点を $M$ ，線分 $AC$ の中点を $N$ とし，直線 $AG,MN$ の交点を $P$ としたとき，四角形 $BGPM$ の面積が $2025$ となりました．三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$1000$ の正の約数の集合を $D$ とします．また，$999$ 次方程式

$$x^{999}+x^{998}+\dots+x+1=0$$

の $999$ 個の解を $x=x_1,x_2,\dots,x_{999}$ とします．このとき，

$$\sum_{d\in D}^{}\sum_{s=1}^{999} x_s^d$$

の値を求めてください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

$n$ を $3$ 以上の奇数とします．いま，円に内接する凸 $n$ 角形 $P_1P_2\dots P_n$ があり，$k=1,2,\dots,n$ について角 $P_k$ の大きさを ${a_k}^{\circ}$ としたところ，

$$\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}a_{2k}=7777$$

が成立しました．このとき，度数法での角 $P_1P_2P_n$ の大きさとして考えられる値の総和を解答してください．

解答形式

答えは非負整数値となるので，それを半角で解答してください．

問題文

以下の式を満たす正の整数の組 $(m,n)$ 全てについて，$m + n$ の総和を求めてください．

$$(mn - 1)^2 + (m + n)^2 = 650$$

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

複素数$\alpha,\beta,\gamma$が
$$\begin{cases}
\alpha+\beta+\gamma=9\\
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=25\\
\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=2025
\end{cases}$$
を満たしています。このとき、$f(x)=0$ が $\alpha,\beta,\gamma $を解に持ち、かつ最高次係数が $1$ であるような $3$ 次関数 $f(x)$ が一意に存在するので、$❘f(2)❘$ を求めてください。

解答形式

解答は正の整数値になるので、その値を解答してください

問題文

一辺の長さが $68$ の正三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ 上に点 $D$ をとり，$D$ から $AB,AC$ に降ろした垂線の足をそれぞれ $E,F$ とする．$BE=14$ が成り立つとき，線分 $CF$ の長さを求めよ．

問題文

nmoon君は黒板に $60$ の正の約数を一つずつ全て書き込みます．そして，以下の操作をできなくなるまで行います．

• 黒板に書かれた $2$ つの正の整数 $x,y$ について，黒板から $x,y$ を消し，$x,y$ の最大公約数と最小公倍数を黒板に書き込む．但し，このとき，操作前と操作後での黒板に書かれた数が，重複を許して全て一致することはないようにする．

全ての操作が終了したとき，黒板に書かれた数の総和としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

正整数で答えてください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ があり，$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$ とします．三角形 $ABC$ の外接円の，$C$ を含まない方の弧 $AB$ 上に点 $P$ をとれば，
$$\angle APH=90^\circ ,\quad BH＝3,\quad CH=4,\quad AP＝10$$
が成立したので線分 $AB$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．