ハロウィン整数　🐈‍⬛

問題文

正$10$角形が半径$31$の円に内接している。
正$10$角形の面積を求めよ。

解答形式

正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。

問題文

カボチャ$10$個とキャンディ$31$個を円周上に並べる方法は何通りあるか。
ただし、カボチャとキャンディはどちらも区別できない。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列${a_n}$が$$a_1=\frac{10}{31},a_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{n^n}a_n$$を満たしている。
$a_{1031}$の値を求めよ。

誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。

解答形式

$a_{1031}$の値は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$pq$が$2025$で割り切れる回数を半角数字で入力してください。

問題文

$0$以上$9$以下の整数を順番を区別して$1031$個選び、それらを$a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031}$とする。(重複も許す)
$a_1+a_2+a_3+…+a_{1030}+a_{1031}$が$9$で割り切れない奇数となるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を求めよ。

解答形式

条件を満たす組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を$N$個とします。$N$の各桁の和を半角数字で入力してください。

問題文

$f^{1031}(x)=f(x)$を満たし、かつ$f(1031)=1031$である多項式関数$f(x)$をすべて求めよ。
ただし、$f^{1031}(x)=\underbrace{f(f(\cdots f}_{1031個}(x)\cdots))$とします。

解答形式

簡単な証明もお願いします。

問題文

$x^{100}+2x^{80}+4x^{60}+4x^{40}+2x^{20}+1=0$ の複素数解を $a_1, a_2, …, a_{100}$ とするとき，$$\sum_{k=1}^{100} \dfrac{a_k^3+2a_k^2+3a_k+4}{a_k^3+a_k^2+a_k+1}$$ の値を求めてください．

問題文

$56076923$ の素因数の総和を求めてください.
ただし, 重複する素因数は異なるものとして考えます.

解答形式

例）非負整数を答えてください.

関数$A(n),B(n)$を
$$
A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\
B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数)
$$
と定めるとき,次の値を求めてください.
$$
\sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)}
$$

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題文

線分$AB$を$1:k(k>0)$に内分する点$P$と，線分$AB$の中点$M$がある。 $PB＝3，PM=\frac{3}{4}$のとき，$k$の値として相応しいものを以下の選択肢からふたつ選べ。

1．$\frac{1}{3} $
2．$\frac{2}{3} $
3．$2$
4．$3$

解答形式

ふたつ目は改行して答えてください。
例)
1
2