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x,y,zを自然数とする。 xy+xz = x+y+z となるような(x,y,z)の組はいくつあるか。
数字のみを記入すること。例：3組ある場合は 3
以下の $x$ に関する $3$ 次方程式は相異なる $3$ 個の複素数解をもつので，それぞれの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とします． $$x^3-2^{2025}x^2+24x-2^{2023}=0$$
このとき，以下の値は整数になるので，その正の約数の個数を求めてください． $$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$$
整数で解答してください．
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20 こちらの31番の問題と同じです．
$x,y$を整数、$p$を素数とする。 $x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。
$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。
$N=p^q-pq$とします。$N-1$が平方数、$p,q,\frac{N}{2},N+1,N+3$がいずれも素数になるような$N$としてありうる最小の値を求めてください。
半角整数で答えてください。
$x,y$を非負整数とする。 $10x+31y=1031$ を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。
誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。
組$(x,y)$について、$x+y$の総和を半角数字で入力してください。
以下の $x$ に関する $100$ 次方程式の（重解を含む）$100$ 個の複素数解を $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{100}$ とします． $$x^{100}+x^{99}+2025x+12=0$$
このとき，以下の値を求めてください． $$\sum_{k=1}^{100} ({\alpha_k}^{100}+{\alpha_k}^{99})$$
https://x.com/atwr0711/status/2000173940698927172?s=20 こちらの14番の問題と同じです．
ある神社ではおみくじを販売していて、おみくじの内容について次のようなことが分かっています。
・くじは2026本あり、それぞれに運勢が1つ書いてある。 ・運勢は7種類あり、大吉、中吉、小吉、凶、大凶、吉、平である。 ・(大吉の本数):(中吉の本数)=5:7 ・(中吉の本数):(小吉の本数)=9:11 ・(小吉の本数):(凶の本数)=7:4 ・(凶の本数):(大凶の本数)=11:8 ・(吉の本数):(平の本数)=5:2
平の本数を求めてください。
答えの数字を半角数字で入力してください。
ここ3年ぐらい吉しか引いてないです。 (追記)今年も吉だったので4年連続です。
$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．
カボチャ$10$個とキャンディ$31$個を円周上に並べる方法は何通りあるか。 ただし、カボチャとキャンディはどちらも区別できない。
半角数字で入力してください。
正$10$角形が半径$31$の円に内接している。 正$10$角形の面積を求めよ。
正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。
$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．
末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．
$n>10$ とする。 $n$ 進法で $2026_{(n)}$ と表される自然数が $2026$ で割り切れるような自然数 $n$ を小さいものから $3$ つ足し合わせた数を答えよ。
必要なら $1013$ は素数であること、 $m^2 \equiv 937 \pmod {1013}$ を満たす $1013$ 以下の自然数 $m$ は $2$ つのみで、その $1$ つが $472$ であることを用いてよい。
