和②

問題文

以下の値を求めてください．
$$\sum_{k=0}^{2026} \frac{k^2}{k^2-2026k+1013×2026}$$

解答形式

整数で解答してください

問題文

整数 $x$ と素数 $p$ が、以下の連立合同式を満たす。

$x \equiv p \pmod{9797}$
$x \equiv 11p + 69 \pmod{9991}$

この条件を満たす最小の素数 $p$ を求めよ。

解答形式

半角左詰め

問題文

横一列に並んだ $14$ 個のオセロの石があります．そして，以下の操作を何度か行い，黒面を向いた石の個数をできるだけ少なくします．

• 連続して並んだ $4$ 個の石を選んで，左から $1,2,4$ 個目の石を全て裏返す．

全ての操作の終了後に黒面を向く石の個数を スコア とします．最初の石の配色は $2^{14}$ 通りありますが，これら全ての場合においてスコアの総和を求めてください．
　但し，オセロの石は，片方が黒面で，もう片方が白面であるとする．

解答形式

正整数で答えてください．

2種類のお菓子A、Bがそれぞれ24個ずつある、これをX, Y, Zの3人で余りなく分けることにした。ここで、ある人が1個ももらわないお菓子の種類があってもよい、X、Y、Zの3人のうちに、以下の条件をみたす2人が存在しないような分け方は何通りありますか。

条件:2人のうち1人はAをa個、Bをa'個もらい、もう1人はAをb個、Bをb'個もらうとき、a≤a'かつb≤b'かつa+b<a'+b'が成り立っている。

問題文

三角形 $ABC$ において，角 $A,B,C $の傍接円の半径をそれぞれ $r_A,r_B,r_C$ とし，内接円の半径を $r $とする．このとき，三角形 $ABC$ が以下の条件を満たすとき$r_A\cdot r_B\cdot r_C \cdot r$の最大値を求めよ.
$$BC=28,∠BAC=60 $$

解答形式

自然数となるので、その値を入力してください

N×Nのマス目にNこの駒を置くと、ある面積N以上の長方形のエリアで、エリア内に駒が存在しないものは存在しなかった。このような駒の配置方法の総数をf(N)として、$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty } f( i)$を計算して下さい。

次のグラフにおいて、毎ターン1つの線分上を駒が移動するとき、初期位置を点Pとして、1024ターン後に駒が点Pに戻るとき、駒の移動のやり方としてあり得るものの総数を1007で割った余りを求めよ。

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

問題

Weskdohn君は次のゲームを行うことになりました．

正$733$角形のマークが書かれたカードW：$W_1W_2 \ldots W_{733}$から一枚選ぶ操作をOPE1と言い，これを$X$回繰り返します．
但し$X$について次の事実がわかっています．

正$3$角形のマークが書かれたカードS：$S_1S_2 S_3$と正$281$角形のマークが書かれたカードN：$N_1N_2 \ldots N_{281}$について，それぞれ一枚ずつ取り出す操作をOPE2といい，OPE2を973回繰り返した場合の数を$X$通りとする．

ゲームで選んだカードWの組み合わせは$Y$通りと書けるので，$Y_{[9]}$の下三桁$n$を求めて下さい．

但し，異なる番号が振られた同じ種類のカード(例えば$E_d$と$E_h$)は互いに区別できるとし，また$O_{[K]}$は，$O$を$K$進法で書いた時の値とします．

解答形式

求めた値を半角で入力して下さい．
ex)答えが6106→6106と入力．
また001のような数値が答えの場合は，0をなくさず001のまま回答して下さい.

問題文

$6106$以下の正整数$N$について,以下のようにスコアを定める.
スコア:整数$a,b(a≦b)$の組で,$ab=N$を満たすようなものの個数.
スコア$＝2$となるような$N$は何通りありますか.
但し,以下に示す10000以下の素数表を用いてもいい.
http://allthingsuniverse.com/jp/prime/10000.html

解答形式

半角数字で入力してください.

$S=$$\{$$\sqrt{1},\sqrt{2},\dots,\sqrt{n} $$\}$の部分集合であって、次を満たすものの個数をmとする。
・要素が3つ
・どの2つを選んでも、2つの比の値が有理数となる

n=mとなるnを全て求め、その総和を求めなさい。